RACIOCÍNIO LÓGICO

 RACIOCÍNIO LÓGICO

Lógica matemática

Questão 1
Um pedreiro diz: "Se eu tivesse dois tijolos a mais, o dobro deste número seria 100". Quantos tijolos ele tem?

a) 42.
b) 44.
c) 48.
d) 52.
e) 50.

Questão 2
Pedro tem 6 bolas de gude a mais do que Jorge. Os dois juntos têm 54. Quanto tem cada um?

a) 24 e 26.
b) 28 e 26.
c) 32 e 22.
d) 30 e 24.
e) 34 e 20.

Questão 3
Se seis latas de leite custam 72 reais, qual o preço de 9 latas?

a) 100 reais.
b) 108 reais.
c) 90 reais.
d) 87 reais.
e) 115 reais.

Questão 4
Num elevador que suporta 600 quilos, quantas caixas de 48 quilos, pode-se levar por vez?

a) 10.
b) 11.
c) 13.
d) 15.
e) 12.

Questão 5
Oito amigos se encontram e cada um cumprimenta o outro com um aperto de mão. Quantos apertos de mão se trocaram?

a) 28.
b) 22.
c) 24.
d) 26.
e) 64.

Questão 6
O termômetro subiu 6 graus, e isso representa a metade da temperatura de antes. A quantos graus está agora?

a) 22 graus.
b) 24 graus.
c) 18 graus.
d) 12 graus.
e) 16 graus.

Questão 7
Se seis pessoas comem 6 chocolates em 6 minutos, quantas pessoas comerão 80 chocolates em 48 minutos?

a) 12.
b) 10.
c) 14.
d) 20.
e) 8.

Questão 8
Que número abaixo completa a sequência a seguir? 12 - 6 - 18 - 24 - ??

a) 30.
b) 42.
c) 24.
d) 36.
e) 26.

 

GABARITO

Questão 1: Opção A: Observações: O Pedreiro tem 48 tijolos. Com mais dois teria de fato a metade de 100, isto é, 50. Subtraindo-se os 2 que lhe faltam, o resultado é 48.

 

Questão 2: Opção D: Observações: Pedro tem 30 bolas de gude e Jorge 24. Se das 54 bolas subtrairmos 6, os dois teriam a mesma quantia, 54-6=48; portanto a metade são 24 bolas, 24+6=30.

 

Questão 3:  Opção B: Observações: 72/6=12. Assim 12x9=108

 

Questão 4: Opção E: Observações: Simples: 600/48=12,5. Assim, o elevador é capaz de transportar 12 caixas de 48 à cada vez.

 

Questão 5: Opção A: Observações: Trocam-se 28 apertos de mão. O 1o. aperta a mão de 7 outros. O 2o. aperta a mão de 6 colegas, pois o 3o. ele já cumprimentou. O 3o. troca com 5. Assim os apertos vão diminuindo: 7,6,5,4,3,2,1, ao todo 28.

 

Questão 6: Opção C: Observações: O termômetro está agora marcando 18 graus. A temperatura de antes devia ter sido de 12 graus. Subindo 6 graus, tem que marcar agora 18 graus.

 

Questão 7: Opção B: Observações: São 10 pessoas. Uma pessoa come um chocolate em 6 minutos. Há 48 chocolates à disposição, então cada pessoa pode comer 8 chocolates. À disposição de 10 pessoas estão 80 chocolates.

 

Questão 8: Opção B: Observações: A lógica é simples: Soma-se o primeiro elemento com o segundo, isto é, 12+6=18. Depois o terceiro com o quarto: 18+24=42

 

Lógica 1 (conhecimento)

Questão 1
Qual das cinco representa a melhor comparação?
"Água está para o gelo assim como leite está para...".

a) Mel.
b) Mingau.
c) café.
d) Queijo.
e) Biscoito.

Questão 2
As letras "ECHOOL" depois de colocadas em ordem, será o nome de...

a) Um oceano.
b) Um país.
c) Uma cidade.
d) Um animal.
e) Um estado.

Questão 3
Para que a frase abaixo, depois de arrumada, faça sentido, que palavra deve ser retirada?
"A roupa tempestade roeu o rato".

a) Tempestade.
b) Rato.
c) Roeu.
d) Roupa.
e) Os artigos.

Questão 4
Depois de ordenadas as letras, uma das palavras abaixo não tem nenhuma relação com as outras.

a) L P A E P.
b) A L I S P.
c) E R F O R.
d) R A H C O B A R.
e) A C E N A T.

Questão 5
Qual dos cinco itens se parece menos com os outros?

a) Tato.
b) Sorriso.
c) Paladar.
d) Audição.
e) Visão.

Questão 6
Qual dos cinco itens representa a melhor comparação?
"Árvore está para o chão assim como chaminé está para...".

a) Fumaça.
b) Tijolo.
c) Garagem.
d) Céu.
e) Casa.

Questão 7
Depois de doar um quarto de sua mesada ao irmão, e ganhar mais cinco reais, ele ficou com 20 reais. Qual era o valor de sua mesada?

a) 10 reais.
b) 30 reais.
c) 20 reais.
d) 35 reais.
e) 25 reais.

Questão 8
Do ponto de vista do tempo cronológico, qual das alternativas abaixo está correta?

a) 2a. Guerra; Idade Média; Dilúvio; Princesa Isabel; MP3.
b) Idade Média; Princesa Isabel; MP3; 2a. Guerra; Dilúvio.
c) Dilúvio; Idade Média; Princesa Isabel; MP3; 2a. Guerra.
d) Dilúvio; Idade Média; Princesa Isabel; 2a. Guerra; MP3.
e) MP3; Dilúvio; 2a. Guerra; Princesa Isabel; Idade Média.

 

GABARITO

Questão 1: Opção D: Observações: Gelo é água sólida; Queijo é leite sólido.

Questão 2: Opção D:Observações: Um animal: COELHO    Questão 3: Opção A:Observações: A frase final é: O RATO ROEU A ROUPA.   Questão 4: Opção C:Observações: A palavra em questão é FERRO, as demais são materiais escolares.   Questão 5:Opção B:Observações: O SORRISO não é um sentido

Questão 6: Opção E:Observações: A árvore está presa ao chão, A chaminé à casa.

 

Questão 7: Opção C:Observações: A mesada era de 60 reais.

 

 Questão 8:Opção D:Observações: Não há

 

                     Conhecimentos gerais 1

Questão 1
A metade do dobro de uma dúzia é igual a:

a) 6.
b) 12.
c) 24.
d) 3.
e) 8.

Questão 2
Um homem viu uma toupeira. A toupeira, que também olhou para ele, viu o que?

a) O homem que a viu.
b) O dedo do homem que apontou para ela quando a viu.
c) A camisa do homem que era vermelha.
d) Um vulto difuso, uma mancha, já que a toupeira é quase cega.
e) Nenhuma das respostas acima.

Questão 3
O lago Vitória fica em que lugar?

a) Na África.
b) Na Ásia.
c) Na Oceania.
d) Nas Américas.
e) Às margens do Rio Negro.

Questão 4
Uma das respostas abaixo está correta. Qual?

a) A velociade do som é igual a da luz.
b) Golfinhos são mamíferos.
c) Os passáros são invertebrados.
d) O mar vermelho fica na china.
e) O Brasil é o único país do mundo onde a lei é cumprida exemplarmente.

Questão 5
O avião que ultrapassa a velocidade do som é:

a) Ultrasônico.
b) Hipersônico.
c) Supersônico.
d) Sônico.
e) Teco teco.

Questão 6
O Papel foi inventado há mais de 2000 anos atrás aonde?

a) No Japão.
b) Na Mongólia.
c) Na Atlântida.
d) No Egito, pelo Judeus.
e) Na China.

Questão 7
O Réptil pré-histórico mais feroz que existiu, foi:

a) O Dinossauro Rex.
b) O Mamute.
c) O Bocassauro.
d) O Tiranossauro Rex.
e) O Mastodonte.

Questão 8
Famoso pensador que primeiro escreveu sobre a existência da lendária Atlântida.

a) Heródoto.
b) Sócrates.
c) Platão.
d) Homero.
e) Leonardo da Vinci.

 

GABARITO

 

Questão 1:Opção B:Observações: Não há

 

Questão 2: Opção E:Observações: Nenhuma das respostas, uma vez que a toupeira é completamente cega.

 

Questão 3: Opção A:Observações: Não Há.

 

Questão 4:Opção B:Observações: Não há

 

Questão 5: Opção C:Observações: Não há.

 

Questão 6: Opção E:Observações: Não há.

 

Questão 7: Opção D:Observações: Não há.

 

Questão 8:Opção C:Observações: Não há

 

 

Conhecimentos gerais 2

 

 

 

Questão 1
Um destes itens não pertence ao grupo

 

a) Liteira.
b) Caiaque.
c) Bote.
d) Canoa.
e) Piroga.

Questão 2
Uma das afirmações abaixo está incorreta

 

a) Júpiter é um planeta do Sistema Solar.
b) Homeopatia é uma forma de tratamento para problemas de saúde.
c) A expressão "Um Barato", também significa "Coisa Legal".
d) Caieira é uma espécie de forno para cozimento de tijolos.
e) Timbó NÃO é uma espécie de planta narcótica usada para pescar.

Questão 3
Identifique o ITEM que não está de acordo com os demais

 

a) Borboleta.
b)  Embuá.
c) Aranha.
d) Escorpião.
e) Centopéia.

Questão 4
Tipo de Acessório usado pelos índios para selar acordos de paz

 

a) Cachimbo.
b)  Maracá.
c) Peteca.
d) Espada.
e) Apito.

Questão 5
Um dos grupos abaixo tem um elemento indevido no meio

 

a)  Laranja, limão, lima.
b)  Cama, travesseiro, colchão.
c) Comunismo, democracia, autoritarismo.
d) Feijão, ervilha, pudim.
e) Caminhão, automóvel, ônibus.

Questão 6
Um dos itens a seguir não está relacionado à informática

 

a) Manivela.
b) Porta serial.
c) Mouse.
d) Teclado.
e) Placa mãe.

Questão 7
Descubra qual das afirmações abaixo que é a verdadeira

 

a) Fotofobia é a mesma coisa que medo de fotografias.
b) Agorafobia é o medo de lugares fechados.
c) Claustrofobia é o medo de permanecer em lugares abertos.
d) Winchester é outro nome para identificar o Disco Rígido ou HD.
e) Ágata é um tipo de madeira nobre usada para fazer espetos.

Questão 8
Um dos alimentos abaixo NÃO contém a chamada Gordura Trans

 

a) Óleo de coco extra virgem.
b) Óleo vegetal.
c) Margarina.
d) Margarina light.
e) Gordura vegetal hidrogenada.

 

 

 

GABARITO

 

Questão 1: Resposta Certa: Opção A:Observações: Liteira não é um meio de transporte marítimo.

 

Questão 2: Resposta Certa: Opção E:Observações: Não há

 

Questão 3:Resposta Certa: Opção A:Observações: Não há

 

Questão 4: Resposta Certa: Opção A:Observações: Não há

 

Questão 5:Resposta Certa: Opção D:Observações: Pudim não é um grão alimentício.

 

Questão 6: Resposta Certa: Opção A:Observações: Não há

 

Questão 7: Resposta Certa: Opção D:Observações: Não há

 

Questão 8:Resposta Certa: Opção A:Observações: Não há

ANÁLISE COMBINATÓRIA

 ANÁLISE COMBINATÓRIA

 

 

DEFINIÇÃO

Combinação simples.

 

Denominamos combinações simples de n elementos distintos tomados p a p aos subconjuntos formados por p elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados.

 

É importante observar que duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados.

Representando por C_n,p o número total de combinações de n elementos tomados p a p , temos a seguinte fórmula:

 

 

“Combinação simples de n elementos tomados p a p (  ) são subconjuntos com exatamente p elementos que se podem formar com os n elementos dados”.

Vamos relembrar alguns conceitos de arranjos.

 

Vamos passear um pouco por arranjos, e depois vamos seguir no mesmo exemplo trabalhando com combinação.

 

Vejamos um exemplo clássico.

 

1)      Vamos considerar o conjunto A = {1,2,3,4,5}

Agora vamos formar todos os arranjos possíveis de 2 elementos distintos do conjunto A.

 

(1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (2,3) (2,4) (2,5) (3,4) (3,5) (4,5)

 

(2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (3,2) (4,2) (5,2) (4,3) (5,3) (5,4)

 

Porque (1,2) ≠ (2,1) ; (1,3) ≠ (3,1) , etc.

 

Note que usamos ( ) para denotar arranjos, pois são pares ordenados, o que implica em elementos distintos em cada agrupamento.

A simples mudança de ordem gera um novo par ordenado.

 

 

Então, utilizando a fórmula geral para arranjos simples. Onde

n= 5 (número total de elementos do conjunto A)

p= 2 (número de elementos tomados p a p – tomamos 2 elementos de cada vez para fazer os agrupamentos)

 

Observe que trabalhamos com 2 elementos tomados p a p, do conjunto com o total de n=5 elementos. Ou seja, fizemos arranjos de 2 a 2 com os 5 números do conjunto A.

 Mas, e se quisermos saber, quantos subconjuntos de 2 elementos, podem ser formados por estes arranjos. Como proceder? Agora a conversa muda um pouco! Vamos ver como fica.

 

Os subconjuntos de 2 elementos que podemos formar são:

 

{1,2}, {1,3}, {1,4} ,{1,5} ,{2,3} ,{2,4} ,{2,5} ,{3,4}, {3,5}, {4,5}

 

 

Desta forma temos: 

 

  , porque {1,2}={2,1} ;  {1,3} = {3,1} , etc.

 

 

 

Note que usamos {} para denotar combinações, pois são subconjuntos, e a ordem dos elementos num subconjunto não se altera.

 

E com 3 elementos como fica? O número de arranjos será:  

 

Temos:  

 

E o número de subconjuntos será:   

 

 

 

 

Já deu para perceber que:            

  

 

 

 

Vamos ver agora alguns exemplos mais elaborados.

 

                                          EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

 

 

1)      Uma prova consta de 6 questões, das quais o aluno deve resolver 3. De quantas formas ele poderá escolher as 3 questões?

 

Quer-se agrupar 3 elementos, dentre os 6 existentes.

Perceba que a ordem em que os elementos aparecerão não será importante, uma vez que, ao resolver a  1ª , a 2ª e a 3ª questão é o mesmo que resolver a 2ª , a 3º e a 1ª, portanto é um problema de combinação.

Logo, um aluno pode escolher suas 3 questões de 20 maneiras diferentes.

 

 

 Observe que, se quiséssemos apenas fazer os arranjos destes elementos 3 a 3, teríamos:

 

 

Faça você os arranjos, e depois verifique como foi feito nos exemplos anteriores, que esta afirmação é verdadeira.

 

2) De quantos modos distintos Amiroaldo pode escolher quatro entre as nove camisetas regata que possui para levar em uma viagem para Mosqueiro.

Suponha que Amiroaldo escolha as camisas 1, 2, 3 e 4.

                      Amiroaldo escolhendo as camisas: 

 

 

Veja que (1, 2, 3, 4) = (1, 3, 4, 2), pois não importa em que ordem Amiroaldo escolhe as camisas que vai levar, o importante é que as camisas escolhidas são as mesmas na primeira e na segunda situação. Problemas como esses são resolvidos com a idéia de Combinação simples.

 

 

 Existem 126 maneiras diferentes para Amiroaldo escolher 4 camisetas das 9 que possui.

Se fosse calculado o número de arranjos destas camisetas tomadas 4 a 4, teríamos 3024 arranjos.

 

 

 

3)  Ane, Elisa, Rosana, Felipe e Gustavo formam uma equipe. Dois deles precisam representar a equipe em uma apresentação. Quais e quantas são as possibilidades?

Representamos cada pessoa por uma letra

A: Ane;

E: Elisa;

R: Rosana;

F: Felipe;

G: Gustavo

.

Precisamos determinar todos os subconjuntos de 2 elementos do conjunto de 5 elementos {A,E,R,F,G}. A ordem em que os elementos aparecem nos subconjuntos não importa, pois Ane-Elisa, por exemplo, é a mesma dupla que Elisa-Ane.Então, os subconjuntos  de 2 elementos são?

 

{A,E},{A,R},{A,F},{A,G},{E,R}{E,F},{E,G},{R,F},{R,G}{F,G}.

 

Chamamos estes subconjuntos de combinação simples de 5 elementos tomados com 2 a 2. Escrevemos C_5,2 .

Onde C_{5, 2}   representa a fórmula das combinações simples:

 

Substituindo na fórmula

 

 

 

Preste atenção nesta próxima propriedade das combinações.

 

Propriedade importante das combinações:

 

 

 

 

De modo geral temos que:

C_{n, p} = C_{n, n-p}

 

 

 

 

Exercícios resolvidos – Número binomial de ordem n e classe p.

 

 

 

1º - Vamos calcular o valor de:

 

 

 

 

 

 

5º - No jogo de truco, cada jogador recebe 3 cartas de um baralho de 40 cartas(são excluídas as cartas 8, 9 , 10).

 

De quantas maneiras diferentes um jogador pode receber suas 3 cartas

As 3 cartas diferem entre si pela natureza delas, e não pela ordem. Como a ordem não importa, calculamos?

 

 

 

 

 

 

 

 

Portanto, cada jogador pode receber suas 3 cartas de 9880 maneiras diferentes.

 

 

Área e Perímetro

 

Área e Perímetro

Área e Perímetro são conceitos utilizados na Geometria. A área é usada para calcular a medida de uma superfície plana e o perímetro é usada para calcular a soma das medidas dos lados de uma figura ou objeto.

Área

A área de uma figura é a medida equivalente a sua superfície. Para calcularmos a área de uma superfície, geralmente, multiplicamos a base (b) pela altura (h) do objeto.

As unidades de medida utilizadas no cálculo da área são:

• km²: quilômetro quadrado;
• hm²: hectômetro quadrado;
• dam²: decâmetro quadrado;
• m²: metro quadrado;
• dm²: decímetro quadrado;
• cm²: centímetro quadrado;
• mm²: milímetro quadrado.

As unidades de medidas acima estão elevadas ao quadrado, ou seja, a potência de 2, pelo fato da área de uma superfície ser equivalente à divisão em “pedaços” de 1 m². Cada metro quadrado de uma área é equivalente a uma unidade de área.

Exemplo:

Para calcularmos a área de uma praça quadrada, utilizaremos o metro (m) como unidade de medida. Dessa forma, a unidade de medida é 1 m². Então, calcular a área de uma praça é o mesmo que dividi-la em vários pedaços de 1 m² e somar todos eles.

Para evitar esse desconforto, esse processo é equivalente a pegar a medida de um lado (comprimento ou base) e multiplicar por outro (largura ou altura, dependendo da posição do objeto). Veja na imagem:

Área = 6 m² . 6 m² = 36 m²

Perímetro

O perímetro é a soma das medidas de comprimentos das bordas de uma figura.

No caso de figuras quadradas e retangulares, basta somarmos as medidas das bordas dos seus lados.

Exemplo:

Perímetro do quadrado = 6 + 6 + 6 + 6 = 24 m

Perímetro do retângulo = 4 + 16 + 4 + 16 = 40 m

Em figuras onde não é possível determinar as medidas dos lados, podemos utilizar o auxílio de um barbante.

Exemplo:

Para calcular o perímetro neste caso, basta medir o tamanho do barbante ou corda.

Em figuras onde é possível medir seus lados, mas que não são retangulares e nem quadradas, o perímetro é a soma das medidas de todos os seus lados.

Exemplo:

Perímetro = 2 + 2 + 3 + 3 + 10 + 10 = 30 cm

No cálculo do perímetro, utilizamos a unidade de medida de comprimento. Diferentemente da área, no perímetro a unidade de medida não é elevada ao quadrado.

As unidades de medida de comprimentos são:

• km: quilômetro;
• hm: hectômetro;
• dam: decâmetro;
• m: metro;
• dm: decímetro;
• cm: centímetro;
• mm: milímetro.

Área e Perímetro de Figuras Planas

Na geometria plana existem diversas figuras planas, vamos mostrar como calcular a área e o perímetro de algumas delas.

Triângulo

O triângulo é uma figura plana formada por três lados, fechada, com três ângulos internos que sua soma é igual a 180°.

Retângulo

O retângulo é uma figura plana formada por quatro lados e fechada. As medidas de dois lados são iguais, da mesma forma que os outros dois lados também são iguais.

Para evitar somar todos os lados no cálculo do perímetro, neste caso multiplicamos a altura e a base por 2, pois as medidas dos lados correspondentes as estas medidas são iguais.

Quadrado

O quadrado é uma figura plana formada por quatro lados com as mesmas medidas. É fechado em todas as extremidades e possuem quatro ângulos retos (medem 90°).

No caso do perímetro do quadrado é a soma dos 4 lados que é equivalente a multiplicar um lado por 4.

Círculo

O círculo ou circunferência é uma figura plana fechada por uma linha em curva. O cálculo da área do círculo não é trivial. Devemos fazer o produto da medida do raio (uma reta do centro até a borda do círculo) ao quadrado por uma constante chamada de Pi ( π = 3,1415…).

As medidas acima são aproximadas, pois, em figuras circulares é difícil encontrar o valor de uma área ou perímetro exatos.

O perímetro da circunferência é equivalente a calcular o perímetro do círculo.

Trapézio

O trapézio é uma figura plana fechada com dois lados e bases paralelas, uma dessas bases é chamada de base maior (maior medida) e a outra de base menor (menor medida).

Losango

O losango é uma figura plana fechada com quatro lados. Os lados de um losango tem as mesmas medidas. No entanto, o losango não é equivalente a um quadrado, porque a medida dos seus ângulos não são retos. Além disso, os ângulos opostos tem medidas iguais.

Onde:

• D: medida da diagonal maior;
• d: medida da digonal menor.

Propriedades do Losango

• Os ângulos opostos são congruentes;
• As diagonais são bissetrizes;
• As diagonais são retas perpendiculares;
• Qualquer losango tem um círculo inscrito.

 

 

Exercícios Sobre Área e Perímetro, Resolvidos

Responda os exercícios a seguir sobre como calcular a área e o perímetro de diferentes formas geométricas.

1) Calcule a área de uma quadra de basquete com 40 m de largura e 70 m de comprimento.

A área é calculada em figuras retangulares multiplicando o comprimento pela largura. Então:

A = 70 m x 40 m = 2800 m²

2) Se o perímetro de um campo de futebol é 250 m e este campo possui comprimento de 100 m, qual a largura deste campo?

O perímetro de figuras retangulares é calculado pela fórmula: P = 2(a + b). Assim:

250 m = 2(100 m + b) ⇒ 250 m = 200 m + 2b ⇒ 250 m – 200 m = 2b ⇒ 50 m = 2b ⇒ b = 50m/2 = 25 m

Portanto, a largura deste campo é de 25 m.

3) Uma piscina de raio igual a 3 m, possui área igual a:

A área de formas circulares é calculada pela fórmula: A = π . r²

Logo, A = π . 3² = 9π m²

A piscina tem área igual a 9π m².

4) Calcule o perímetro da questão anterior.

O perímetro de formas circulares é calculado pela fórmula: P = 2 . π . r

P = 2 . π . 3 m = 6π m

Logo, o perímetro da piscina é 6π m.

5) Um triângulo isósceles possui dois lados com medidas iguais a 10 cm, e a base com medida igual 6 cm. Qual a área e o perímetro deste triângulo?

A área de triângulos isósceles é calculada pela fórmula: A = (b x h)/2.

No entanto, não temos a altura do triângulo, mas podemos achá-la utilizando o teorema de Pitágoras.

Sabemos que num triângulo isósceles, a altura divide-o ao meio, formando dois triângulos retângulos. Então:

a² = h² + b² ⇒ 10² = h² + 3² ⇒ 100 = h² + 9 ⇒ 100 – 9 = h² ⇒ 91 = h² ⇒ h = √91

Como a base mede 6 cm, e a altura divide o triângulo ao meio de forma simétrica, então temos que dividir 6 por 2, por isso 3.

Logo: A = (6 x √91)/2 = 57,2 cm / 2 = 28,6 cm²

O perímetro de um triângulo isósceles é calculado pela fórmula: P = a + b + c.

Então: P = 10 cm + 10 cm + 6 cm = 26 cm.