Área e Perímetro

 

Área e Perímetro

Área e Perímetro são conceitos utilizados na Geometria. A área é usada para calcular a medida de uma superfície plana e o perímetro é usada para calcular a soma das medidas dos lados de uma figura ou objeto.

Área

A área de uma figura é a medida equivalente a sua superfície. Para calcularmos a área de uma superfície, geralmente, multiplicamos a base (b) pela altura (h) do objeto.

As unidades de medida utilizadas no cálculo da área são:

• km²: quilômetro quadrado;
• hm²: hectômetro quadrado;
• dam²: decâmetro quadrado;
• m²: metro quadrado;
• dm²: decímetro quadrado;
• cm²: centímetro quadrado;
• mm²: milímetro quadrado.

As unidades de medidas acima estão elevadas ao quadrado, ou seja, a potência de 2, pelo fato da área de uma superfície ser equivalente à divisão em “pedaços” de 1 m². Cada metro quadrado de uma área é equivalente a uma unidade de área.

Exemplo:

Para calcularmos a área de uma praça quadrada, utilizaremos o metro (m) como unidade de medida. Dessa forma, a unidade de medida é 1 m². Então, calcular a área de uma praça é o mesmo que dividi-la em vários pedaços de 1 m² e somar todos eles.

Para evitar esse desconforto, esse processo é equivalente a pegar a medida de um lado (comprimento ou base) e multiplicar por outro (largura ou altura, dependendo da posição do objeto). Veja na imagem:

Área = 6 m² . 6 m² = 36 m²

Perímetro

O perímetro é a soma das medidas de comprimentos das bordas de uma figura.

No caso de figuras quadradas e retangulares, basta somarmos as medidas das bordas dos seus lados.

Exemplo:

Perímetro do quadrado = 6 + 6 + 6 + 6 = 24 m

Perímetro do retângulo = 4 + 16 + 4 + 16 = 40 m

Em figuras onde não é possível determinar as medidas dos lados, podemos utilizar o auxílio de um barbante.

Exemplo:

Para calcular o perímetro neste caso, basta medir o tamanho do barbante ou corda.

Em figuras onde é possível medir seus lados, mas que não são retangulares e nem quadradas, o perímetro é a soma das medidas de todos os seus lados.

Exemplo:

Perímetro = 2 + 2 + 3 + 3 + 10 + 10 = 30 cm

No cálculo do perímetro, utilizamos a unidade de medida de comprimento. Diferentemente da área, no perímetro a unidade de medida não é elevada ao quadrado.

As unidades de medida de comprimentos são:

• km: quilômetro;
• hm: hectômetro;
• dam: decâmetro;
• m: metro;
• dm: decímetro;
• cm: centímetro;
• mm: milímetro.

Área e Perímetro de Figuras Planas

Na geometria plana existem diversas figuras planas, vamos mostrar como calcular a área e o perímetro de algumas delas.

Triângulo

O triângulo é uma figura plana formada por três lados, fechada, com três ângulos internos que sua soma é igual a 180°.

Retângulo

O retângulo é uma figura plana formada por quatro lados e fechada. As medidas de dois lados são iguais, da mesma forma que os outros dois lados também são iguais.

Para evitar somar todos os lados no cálculo do perímetro, neste caso multiplicamos a altura e a base por 2, pois as medidas dos lados correspondentes as estas medidas são iguais.

Quadrado

O quadrado é uma figura plana formada por quatro lados com as mesmas medidas. É fechado em todas as extremidades e possuem quatro ângulos retos (medem 90°).

No caso do perímetro do quadrado é a soma dos 4 lados que é equivalente a multiplicar um lado por 4.

Círculo

O círculo ou circunferência é uma figura plana fechada por uma linha em curva. O cálculo da área do círculo não é trivial. Devemos fazer o produto da medida do raio (uma reta do centro até a borda do círculo) ao quadrado por uma constante chamada de Pi ( π = 3,1415…).

As medidas acima são aproximadas, pois, em figuras circulares é difícil encontrar o valor de uma área ou perímetro exatos.

O perímetro da circunferência é equivalente a calcular o perímetro do círculo.

Trapézio

O trapézio é uma figura plana fechada com dois lados e bases paralelas, uma dessas bases é chamada de base maior (maior medida) e a outra de base menor (menor medida).

Losango

O losango é uma figura plana fechada com quatro lados. Os lados de um losango tem as mesmas medidas. No entanto, o losango não é equivalente a um quadrado, porque a medida dos seus ângulos não são retos. Além disso, os ângulos opostos tem medidas iguais.

Onde:

• D: medida da diagonal maior;
• d: medida da digonal menor.

Propriedades do Losango

• Os ângulos opostos são congruentes;
• As diagonais são bissetrizes;
• As diagonais são retas perpendiculares;
• Qualquer losango tem um círculo inscrito.

 

 

Exercícios Sobre Área e Perímetro, Resolvidos

Responda os exercícios a seguir sobre como calcular a área e o perímetro de diferentes formas geométricas.

1) Calcule a área de uma quadra de basquete com 40 m de largura e 70 m de comprimento.

A área é calculada em figuras retangulares multiplicando o comprimento pela largura. Então:

A = 70 m x 40 m = 2800 m²

2) Se o perímetro de um campo de futebol é 250 m e este campo possui comprimento de 100 m, qual a largura deste campo?

O perímetro de figuras retangulares é calculado pela fórmula: P = 2(a + b). Assim:

250 m = 2(100 m + b) ⇒ 250 m = 200 m + 2b ⇒ 250 m – 200 m = 2b ⇒ 50 m = 2b ⇒ b = 50m/2 = 25 m

Portanto, a largura deste campo é de 25 m.

3) Uma piscina de raio igual a 3 m, possui área igual a:

A área de formas circulares é calculada pela fórmula: A = π . r²

Logo, A = π . 3² = 9π m²

A piscina tem área igual a 9π m².

4) Calcule o perímetro da questão anterior.

O perímetro de formas circulares é calculado pela fórmula: P = 2 . π . r

P = 2 . π . 3 m = 6π m

Logo, o perímetro da piscina é 6π m.

5) Um triângulo isósceles possui dois lados com medidas iguais a 10 cm, e a base com medida igual 6 cm. Qual a área e o perímetro deste triângulo?

A área de triângulos isósceles é calculada pela fórmula: A = (b x h)/2.

No entanto, não temos a altura do triângulo, mas podemos achá-la utilizando o teorema de Pitágoras.

Sabemos que num triângulo isósceles, a altura divide-o ao meio, formando dois triângulos retângulos. Então:

a² = h² + b² ⇒ 10² = h² + 3² ⇒ 100 = h² + 9 ⇒ 100 – 9 = h² ⇒ 91 = h² ⇒ h = √91

Como a base mede 6 cm, e a altura divide o triângulo ao meio de forma simétrica, então temos que dividir 6 por 2, por isso 3.

Logo: A = (6 x √91)/2 = 57,2 cm / 2 = 28,6 cm²

O perímetro de um triângulo isósceles é calculado pela fórmula: P = a + b + c.

Então: P = 10 cm + 10 cm + 6 cm = 26 cm.