POTENCIAÇÃO

POTENCIAÇÃO

A potenciação é um tema bem recorrente durante, praticamente, todo o ensino médio, além de ser um conteúdo muito importante para os nosso alunos. Conhecer e compreender as regras da potenciação é fundamental para aqueles que buscam ter um bom desempenho na escola e em avaliações externas como no ENEM, por exemplo, por se tratar de um tema bem frequente nesse exame. Outro bom motivo para aprender essas regrinhas de potenciação deve-se ao fato desse conteúdo estar presente em outras ciências afins como na química e na física.  

Ao longo da minha vida como professor de matemática, tomando como base meus alunos e os inúmeros e-mail's que recebo todos os dias, cheguei a conclusão de que muitas pessoas sentem uma certa dificuldade com questões que envolvem as regras da potenciação. Por esse motivo, decidi criar esta publicação com o intuito de esclarecer os pontos mais importantes sobre esse conteúdo a fim de torná-la mais compreensível e mais fácil de ser utilizada em situações-problemas em nosso cotidiano.

O que é um Potência?

É importante, antes de falar sobre potenciação e suas propriedades, conhecer e compreender o que vem a ser uma potência. Observe o exemplo abaixo:

2⋅2⋅2⋅2=24=16$$2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^4=16$$

Note que nesse exemplo o número 2 (chamado de fator) se repete 4 vezes em uma multiplicação que pode ser representada da forma como vem depois da igualdade, ou seja, apenas com o número 2 elevado a 4 onde esse número quatro indica a quantidade de fatores (quantas vezes o 2 se repete).

A essa representação damos o nome de potência. Com isso podemos concluir que, potência nada mais é do que a representação de uma multiplicação de um mesmo número "n" vezes.

Partes de uma Potência

Vamos conhecer agora as principais partes de uma potência, com o próximo exemplo:

Em azul temos a base da nossa potência que nada mais é do que o termo que se repete na multiplicação, também conhecido como fator da multiplicação. Em vermelho temos o expoente da nossa potência que é aquele número que fica mais elevado. O expoente indica o número de fatores da multiplicação. Perceba que no exemplo acima nosso fator é 3, ou seja, a base está sendo multiplicada por ela mesma três vezes, matematicamente temos "5⋅5⋅5$5\cdot 5\cdot 5$"  obtendo como resultado o valor 125. A esse resultado damos o nome de potência, ou seja, é o valor final da multiplicação.

Observação: É importante que você conheça bem essas definições e nomenclaturas e que seja capaz de identificar cada uma delas em uma potência, pois serão de grande ajuda na hora de compreender as demais definições e propriedades.

Agora que você conheceu e compreendeu as partes de uma potência, podemos dar início a explicação de todas as suas propriedades da potenciação dentro do conjunto dos números Reais.   

1. Base elevado a expoente par:

Quando temos um número real elevado a um expoente par, o seu resultado será também um número real positivo. Então, mesmo que a base seja um número real negativo, seu resultado será um número real positivo. Nunca se esqueça que o expoente diz o número de vezes que a nossa base está sendo multiplicada por ela mesma. Observe alguns exemplos abaixo:

(5)2=5⋅5=+25(−7)2=(−7)⋅(−7)=+49(−5)4=(−5)⋅(−5)⋅(−5)⋅(−5)=+625(−2)4=(−2)⋅(−2)⋅(−2)⋅(−2)=+16$$\begin{gathered} {\left(5\right)}^2=5\cdot 5=+25 \\ {\left(-7\right)}^2=\left(-7\right)\cdot \left(-7\right)=+49 \\ {\left(-5\right)}^4=\left(-5\right)\cdot \left(-5\right)\cdot \left(-5\right)\cdot \left(-5\right)=+625 \\ {\left(-2\right)}^4=\left(-2\right)\cdot \left(-2\right)\cdot \left(-2\right)\cdot \left(-2\right)=+16 \end{gathered}$$

Observação: Note que mesmo a base sendo um valor negativo se o expoente for par o resultado será sempre um valor positivo. Nunca se esqueça disso, muitas pessoas erram uma questão inteira, muitas vezes, por causa desse pequeno detalhe que nem todo mundo se lembra as vezes. 

2. Base elevado a expoente ímpar:

Nesse caso quando temos um número real elevado a um expoente ímpar o resultado da nossa potência será um número real que terá como sinal em seu resultado o mesmo sinal da base, ou seja, se a base for positiva o resultado será positivo, mas se a base for negativa o resultado da potência será negativo. Veja alguns exemplos:

OBS: Nunca se esqueça, nesses casos em que o expoente é ímpar o sinal da potência sempre será igual ao sinal da base. Essas observações ajudam muito na hora dos exercícios eu recomendo que preste bem atenção nelas.

3. Base elevado a expoente negativo:

Quando temos uma base (um número real qualquer) elevado a um expoente negativo devemos seguir um pequeno procedimento, mas não se preocupe, pois é algo bem simples. Devemos inverter a base da nossa potência e depois devemos mudar o sinal do expoente para positivo e então resolvemos normalmente aplicando as propriedades 1 ou 2 vistas anteriormente. Veja alguns exemplos: 

OBS 1: Inverter uma fração nada mais é do que colocar o numerador no lugar do denominador e o denominador no lugar do numerador, ou em outras palavras, virar a fração de cabeça para baixo rsrsrsrs. Lembrando que:

OBS 2: Nos casos em que o número não vem em forma de fração, consideramos o denominador (o valor que está em baixo) igual a 1, e é por esse motivo que ao invertermos, por exemplo o número 3,  temos como resultado 1 sobre 3 ou um terço. Nunca se esqueça disso, todo número está divido por 1 ou em outras palavras, todo número que não está na forma de fração possui denominador igual a 1 e na hora de invertermos esse número o número 1 que antes estava em baixo passa a ficar em cima e o número que antes estava em cima passa a ficar em baixo. Observe um exemplo: 

OBS 3: Quando temos uma fração elevada a um expoente, para resolvermos ela, elevamos tanto o numerador quanto o denominador ao mesmo expoente da fração e resolvemos normalmente cada parte da fração, ou seja, o numerador depois o denominador e em seguida simplificamos a fração caso isso seja possível. Observe um exemplo abaixo:

4. Multiplicando potências de mesma base:

Quando temos potências de mesma base sendo multiplicadas entre si devemos repetir a base dessas potências e somar todos os expoentes de cada potência, chegando a uma nova potência que poderá ser resolvida por alguma das propriedades citadas anteriormente. Veja alguns exemplos abaixo:

5. Dividindo potências de mesma base:

Quando temos potências de mesma base sendo dividas entre si devemos repetir a base dessas potências e subtrair o expoente do numerador pelo denominador. Veja alguns exemplos:

6. Potência de base 1:

Toda potência de base "1" elevada a qualquer expoente possui como resultado o próprio valor 1, veja alguns exemplos abaixo:

1² = 1 ∙ 1 = 1

1¹² = 1∙ 1∙ 1∙ 1∙ 1∙ 1∙ 1∙ 1∙ 1∙ 1∙ 1∙ 1 = 1

7. Potência com base elevado a zero:

Todo número elevado a zero é igual a 1 com exceção do zero. Essa é a definição dessa propriedade. Eu poderia muito bem falar apenas isso e seguir para a próxima propriedade, mas ao meu ver isso seria errado da minha parte para você leitor, creio eu que você já tenha se perguntado por que um número elevado a zero é igual a 1 não é mesmo? Pensando nisso irei explicar para você por que todo número elevado a zero (com exceção do zero) é igual a 1. 

Vamos supor que temos um número qualquer determinado pela letra "a" por exemplo (tanto faz se você escolher um número em vez de uma letra também irá dar certo) . Então temos: 

(a)º = 1

Vamos demonstrar esse fato, mas para isso precisamos de um pequeno macete para compreendermos tal demonstração, veja que macete é esse:

2 - 2 = 0 

3 - 3 = 0 

4 - 4 = 0 

Sabemos que todo número subtraído por ele mesmo dá zero. Isso é algo notável e bem simples de se visualizar. Podemos dizer então que "0" é o mesmo que "2 - 2" ou "3 - 3" ou "4 - 4" e assim por diante. Então vamos ver o que aconteceria se trocássemos o zero por "2 - 2", por exemplo,  já que são a mesma coisa, veja: 

Vimos no item 5 dessa publicação que quando os expoentes estão subtraindo um com o outro é por que anteriormente eles estavam sendo divididos entre si, então podemos dizer que:

O resultado de a² dividido por a² é 1, pois eles são valores iguais e valores iguais quando divididos entre si dão sempre o resultado 1 (com exceção do zero), por exemplo: 2 dividido por 2 é igual a 1, 3 dividido por 3 é igual 1, a dividido por a é igual a 1 por consequência a² divido por  a² também será igual 1. Logo: 

Qualquer que seja o valor escolhido para a letra "a" o resultado dará sempre "1". Veja alguns exemplos abaixo:

Esse é o porque de um número elevado a zero (com exceção do zero) ser igual a 1. 

8. Potência de uma potência:

Pode haver de em alguma questão existir uma potência elevada a um expoente. A esse caso chamamos de potência de uma potência e para resolver basta mantermos a base e depois multiplicarmos os expoentes para acharmos a nova potência equivalente. Veja como é simples: 

9. Multiplicando potências de mesmo expoente:

Quando ocorre de existir uma multiplicação entre potências que não possuem a mesma base mas possuem o mesmo expoente podemos fazer a seguinte ação para resolver de forma mais rápida e as vezes até mais fácil esse tipo de questões, devemos repetir o expoente e multiplicar as bases para encontrar a nova potência equivalente, veja no exemplo a seguir como isso é bem fácil:

10. Dividindo potências de mesmo expoente:

Nesse caso, quando estamos dividindo potências de mesmo expoente devemos dividir as bases (a de cima pela de baixo) e depois repetirmos o expoente. Lembre-se que só podemos dividir as bases se o número de cima for divisível pelo número de baixo caso não as bases não sejam divisíveis você deve manter a fração e então resolver as potências normalmente, ou seja, resolva a potência de cima e depois resolva a potência de baixo. Veja nos exemplos a seguir: 

11. Expoente de base zero:

Quando a base de nosso expoente é zero o resultado será sempre zero quando o expoente for maior que zero, indeterminado quando o expoente for igual zero e indefinido quando o expoente for negativo. Observe os exemplos:

OBS 1: Note que não podemos determinar os resultados das potências quando o expoente for zero e também quando ele for negativo, então lembre-se bem disso.

OBS 2: Quando a base de uma potência for zero e o expoente for maior que zero o resultado da potência será sempre zero.

OBS 3: Quando a base de uma potência for zero e o expoente for menor ou igual a zero o resultado é indefinido ou indeterminado, ou seja, é indefinido quando o expoente é negativo e indeterminado quando o expoente é zero. 

12. Potência de um produto:

Quando temos uma multiplicação elevada a um expoente podemos dizer que cada membro dessa multiplicação está elevado a esse mesmo expoente, veja isso por meio de um exemplo: