Operação com Monômios

Operação com Monômios

O que são monômios ?

Um monômio é uma expressão algébrica racional inteira que representa um produto de números reais.
- Um monômio distinguimos em duas partes:

1) Um parte numérica (constante) que também é chamada de coeficiente .

2) Uma parte literal (variável)



Exercício:
De o grau de cada um dos seguintes monômios:

a) 5x² = 
b) 4x⁵y³ =  
c) -2xy² =  
d) a³b² = 
e) 7xy =  
f) -5y³m⁴= 
g) 6abc =  
h) 9x³y²z⁵ =

Observe que:
5x²y³ e 5x³y² não são semelhantes
-3x²y³ e 4y³x² são semelhante


Adição e subtração

Eliminam-se os parênteses e reduzem-se os termos semelhantes.

Exemplos 1

(+8x) + (-5x)
8x – 5x
3x

Exemplo 2

(-7x ) – ( +x)
-7x – x
-8x



EXERCÍCIOS


1) Efetue:

a) (+7x) + (-3x) = (R: 4x)
b) (-8x) + (+11x) = (R: 3x )
c) (-2y) + (-3y) = (R: -5y)
d) (-2m) + (-m) = (R: -3m)
e) (+5a²) + (-3a²) = (R: 2a²)
f) (+5x) + (-5x) = (R: 0)
g) (+6x) + (-4x) = (R: 2x)
h) (-6n) + (+n) = (R: -4n)
i) (+8x) – ( -3x) = (R: 11x)
j) (-5x) – (-11x) = (R: 6x)
k) (-6y) – (-y) = (R: -5y)
l) (+7y) – (+7y) = (R: 0 )
m) (-3x) – (+4x) = (R -7x)
n) (-6x) – ( -x) = (R: -5x)
o) (+2y) – (+5y) = (R: -3y )
p) (-m) –(-m) = (R: 0 )

2) Efetue :

a) (+ 3xy) – (-xy) + (xy) = (R: 5xy)
b) (+ 15x) – (-3x) – (+7x) + (-2x) = (R: 9x )
c) (-9y) –( +3y) – (+y) + (-2y) = (R: -15y)
d) (3n) + (-8n) + (+4n) – (-5n) – (-n) = (R: 5n)

3) Efetue:

a) (+1/2x) + (-1/3x) = (R: 1x/6)
b) ( -2/5x) + (-2/3x) = (R: -16x/15)
c) (-7/2y) + (+1/4y) = (R: -13y/4)
d) (+2m) +( -3/4m) = (R: 5m/4)
e) (+2/3x) - ( -3/2x) = (R: 13x/6)
f) (-3/4y) – (+1/2y) = (R: -5y/4)
g) (+2/5m) – (+2/3m) = (-4m/15)
h) (-3x) –(-2/5x) = (R: 13x/5)

4)   Calcule os monômios

a)      2x + 3x = (R: 5x)
b)      6y – 4y + 5y = (R: 7y)
c)       3a – 6a – a = (R: -4a)
d)      2/5 x²y 3/2 x²y = (R: 19/10 x²y)
e)      1/2ab – 3ab = (R: 5/2ab)
f)       7b + 4b – 6b = (R: 5b)
g)      3/2 y – 2y + 7/3 y = (R: 11/6Y)
h)      3/5 x + x = (R: 8/5x)
i)        8xy – 4xy + 4xy – 8xy = (R: 0xy)
j)        3/7 x + 41/8 x = ( R: 311/56x)
k)      -x² + 2/5 x² = (R: -3/5 x²)
l)        -3p -7p + 18p = (R: 8p)


MULTIPLICAÇÃO

O produto de dois monômios, basta multiplicarmos coeficiente com coeficiente e parte literal com parte literal. E quanto multiplicamos as partes literais devemos usar a propriedade da potencia que diz para conservar a base e somar os expoentes.
Exemplo
Vamos Calcular:

(3x²) . (2x⁵) =
( 3 . x . x) . ( 2 .x.x.x.x.x.)=
3 .2 x.x.x.x.x.x.x =
6x⁷

Conclusão: multiplicam-se os coeficientes e as partes literais

EXERCÍCIOS

1) Calcule:
a) (+5x) . (-4x²) = (R: -20x³)
b) (-2x) . (+3x) = (R: -6x²)
c) (+5x) . (+4x) = (R: 20x²)
d) (-n) . (+ 6n) = (R: -6n²)
e) (-6x²) . (+3x²) = (R: -18x³)
f) (-2y) . (5y) = (R: -10y²)
g) (+4x²) . (+5x³) = (R: 20x⁵)
h) (2y) . (-7x) = (R: -14yx)
i) (-2x) . (-3y) = (R: 6xy)
j) (+3x) . (-5y) = (R: -15xy)
k) (-3xy) . (-2x) = (R: 6x²y)

 2) Calcule

a) (2xb) . (4x) = (R: 8x²b)
b) (-5x²) . (+5xy²) = ( R: -25 x³y²)
c) (-5) . (+15x²y) = (R: -75 x²y)
d) (-9X²Y) . (-5XY²) = (R: 45x³y³)
e) (+3X²Y) . (-XY) = ( R: -3x³y²)
f) (X²Y³) . (5X³Y²) = (R: 5x⁵y⁵)
g) (-3x) . (+2xy) . ( -x³) = (R: 6x⁵y)
h) (-x³) . (5yx²) . (2y³) = (R: -10x⁵y³)
i) (-xy) . (-xy) . (-xy) = (R: -x³y³)
j) (-xm) . ( x²m) . (3m) = (R: -3x³m³)

3) Calcule:
a) (1/2x) . (3/5x³) = (R: 3/10x⁴)
b) (-2/3x) . (+3/4y) = (R: -6/12xy ou -1/2xy)
c) (-1/3x²) . (4/2x³) = (R: -4/6x⁵ ou -2/3x⁵)
d) (-x²/3) . (-x/2) = (R: x³/6)
e) (-2x/3) . (6x/5) = (R: -12/15x²)
f) (-10xy) . ( xy²/3) =

DIVISÃO
A divisão de dois monômios, basta dividirmos o coeficiente com coeficiente e parte literal com parte literal. E quanto dividimos  as partes literais devemos usar a propriedade da potencia que diz para conservar a base e subtrair  os expoentes. 


Vamos calcular:

(15x⁶) : (5x²) =
15 . x . x . x. x. x. x : 3 . x . x
3 . x . x . x . x
3x⁴

Conclusão: dividem-se os coeficientes e as partes literais

EXERCÍCIOS

1) Calcule os quocientes:

a) (15x⁶) : (3x²) = (R: 5x⁴)
b) (16x⁴) : (8x) = (R: 2 x³)
c) (-30x⁵) : (+3x³) = (R: -10)
d) (+8x⁶) : (-2x⁴) = (R: -4x²)
e) (-10y⁵) : (-2y) = (R: 5y⁴)
f) (-35x⁷) : ( +5x³) = (R: -7x⁴)
g) (+15x⁸) : (-3x²) = (R: -5x⁷)
h) (-8x) : (-8x ) = (R: 1)
i) (-14x³) : (+2x²) = (R: -7x)
j) (-10x³y) : (+5x²) = (R: -2xy)
k) (+6x²y) : (-2xy) = (R: -3x)
l) (-7abc) : (-ab) = (R: 7c)
m) (15x⁷) : ( 6x⁵) = (R:5/2x²)
n) (20a³b²) : ( 15ab²) =(R:4/3a²)
o) (+1/3x³) : (-1/5x²) = (R:-5/3x)
p) (-4/5x⁵y) : ( -4/3x³y) = (R:3/5x²)
q) (-2xy²) : ( xy/4) = (R: -8y)


2) Calcule


a)      (10xy) : (5x) = ( R: 2y)
b)      (x³y²) : (2xy) = (R: 1/2 x²y)
c)       (-3xz²) : (-3xz) = (R: z)
d)      (-14m⁶n³) : ( 7m⁴n²) = (R: -2m²n)
e)      (1/2a³b²) : (-a³b²) = (R: -1/2)
f)       (a⁴b³) : (5a³b) = (R: 1/5 ab²)
g)      (-3x⁵y³) : (-4x²y) = (R: 3/4x³y²)
h)      (-2/3 x⁴z⁴) : 5/3 z⁴ = (R: -2/5 x⁴)

POTENCIAÇÃO

Para elevarmos um monômio a uma potência devemos elevar cada fator desse monômio a essa potencia. Na pratica elevamos elevamos o coeficiente numérico à potencia e multiplicamos cada um dos expoentes das variáveis pelo expoente da potencia.


Vamos calcular:

(5a³m)² = 25 a⁶m

Conclusão : Para elevarmos um monômio a uma potência, elevamos cada um de seus fatores a essa potência.

Exemplos

1) (-7x)² = 49 x²
2) (-3x²y)³ = -27x⁶y³
3) (- 1/4x⁴)² = 1/16x⁸

4)

EXERCÍCIOS

1) Calcule:

a) ( + 3x²)² =
b) (-8x⁴)² =
c) (2x⁵)³ =
d) (3y²)³ =
e) (-y²)⁴ =
f) (-mn)⁴ =
g) (2xy²)⁴ =
h) (-4x²b)² =
i) (-3y²)³ =
j) (-6m³)² =
k) (-3x³y⁴)⁴ =
l) (-2x²m³)³ =

2) Calcule:

a) (x²/2)³ =
b) (-x²/4)² =
c) (-1/2y)² =
d) (+2/3x)³ =
e) (-3/4m)² =
f) (-5/6m³)² =

RAIZ QUADRADA

Para extraimos a raiz de um monômio efetuamos a raiz de seu coeficiente numérico e a raiz de seus fatores. Na pratica isso equivale a dividirmos cada expoente pelo índice da raiz.


Aplicando a definição de raiz quadrada, temos:

a) √49x² = 7x, pois (7x)² = 49x²
b) √25x⁶ = 5x³, pois (5x³)² = 25x⁶

Conclusão: para extrair a raiz quadrada de um monômio, extraímos a raiz quadrada do coeficiente e dividimos o expoente de cada variável por 2

Exemplos:

a) √16x⁶ = 4x³
b) √64x⁴b² = 8x²b

Obs: Estamos admitindo que os resultados obtidos não assumam valores numéricos negativos

EXERCÍCIOS

1) Calcule

a) √4x⁶ =
b) √x²y⁴ =
c) √36c⁴ =
d) √81m² =
e) √25x¹² =
f) √49m¹⁰ =
g) √9xb² =
h) √9x²y² =
i) √16x⁸ =

2) Calcule:

a) √x²/49 =
b) √x²/25 =
c) √4/9x⁸ =
d) √49/64x¹⁰ =
e) √25/81yx⁶ =
f) √121/100 x²m⁸ =

Agora tente fazer esses exercícios:

1) (Fuvest) Qual é o valor da expressão a²- 3a²x²y², para a=10, x=3 e y=1.

2)O valor da expressão x² – 4xy + 4y² quando x= 7 e y = 3 é?

3) Classifique-as seguintes afirmativas como verdadeiras ( V ) ou falsas ( F ).
a) ( ) O coeficiente numérico do monômio - a³ b²  é - 1 .
                                                                       3            3
b) ( ) Os monômios 4x³ y² e 4x² y³ são semelhantes.
c) ( ) Se x = - 2 e y = - 4, então x – y = 2 .
d) ( ) Se a = -1 e b = 5, então - a - b = -6

4)Numa cidade, uma corrida de táxi tem um custo fixo de R$2,60 e outro variável de R$0,40 por quilômetro rodado. Onde P representa o preço a ser pago e x representa a quantidade de quilômetros rodados.
a) Escreva a expressão para calcular o preço P a ser pago numa corrida de táxi nessa cidade
b) Numa corrida de táxi nessa cidade, um passageiro rodou 18 km. Quanto ele vai pagar?

Geometria espacial, sua aplicação no cotidiano e fórmulas

Geometria espacial, sua aplicação no cotidiano e fórmulas

A Matemática teve seu surgimento a partir das necessidades fundamentais das pessoas, mais especificamente das necessidades econômicas . De uma maneira bastante similar , a geometria também surgiu. Geometria que significa: grego = geo =terra + metria= medida, ou seja, "medir terra", está ligada diretamente à necessidade de melhorar o sistema de recebimento de impostos de áreas rurais, e deve-se aos antigos egípcios que iniciaram o crescimento da disciplina.

Por sua vez a Geometria espacial funciona como uma prorrogação da Geometria plana, ela trabalha com o estudo da geometria no espaço (os objetos espaciais), como a relação entre esses elementos. Os objetos primários do modo de vista espacial, são: retas, pontos, segmentos de retas, curvas, planos, ângulos e superfícies. Os fundamentais tipos de cálculos que pode-se realizar são o de comprimentos de curvas, áreas de superfícies e volumes de regiões sólidas.

A Geometria Espacial corresponde a área da matemática que se encarrega de estudar as figuras no espaço, ou seja, aquelas que possuem mais de duas dimensões , tendo comprimento, largura e altura. Diferentemente da geometria plana que se ocupa de somente duas dimensões:comprimento e largura.

Contudo, o estudo das estruturas das figuras espaciais e suas inter-relações é determinado por alguns conceitos básicos como: Ponto, a reta e o  plano.

Vejamos um vídeo usando Minecraft sobre esse assunto:

Podemos representar o espaço por meio da projeção espacial das três dimensões, que são: altura, comprimento e largura. As coordenadas cartesianas são dadas pelos eixos x, y e z. Usando a localização de pontos, é possível traçar retas no espaço que formam planos e definem formas e estruturas geométricas.

Agora vamos perceber que a  geometria espacial sempre fez parte do nosso cotidiano: 

Nas caixas de chocolate ( Prisma de base triangular)

Na caixa de pizza com formato de um prisma octogonal .

Sabendo o conceito de Geometria espacial, conseguimos calcular quanto material precisamos para fazer "n" caixas de pintura de cabelo.

Nas caixas para guardar fotos

Nos livros

Nos materiais escolares

Embalagens de achocolatados

Favos de mel

Armários

Produtos de limpeza

Um dos exemplos da geometria Egípcia são as construções das pirâmides, e templos pelas civilizações egípcias e babilônias, sendo as provas mais antigas sobre o conhecimento de geometria. Porém, outros povos já utilizavam de teoremas como o de Pitágoras quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo.

Agora vejamos alguns exemplos de sólidos geométricos:

• Cubo

O cubo é um hexaedro regular composto de 6 faces quadrangulares, 12 arestas e 8 vértices sendo:

Área lateral: 4a2
Área total: 6a​2
Volume: a.a.a = a3

• Pirâmide 

A pirâmide é um poliedro composto por uma base (triangular, pentagonal, quadrada, retangular, paralelogramo), um vértice (vértice da pirâmide) que une todas as faces laterais triangulares.

Sua altura corresponde a distância entre o vértice e sua base. 

Área total: Área lateral + área da base 

Volume: (Área da base. altura)/ 3

• Prisma

O Prisma é um poliedro composto de duas faces paralelas que formam a base, que por sua vez, podem ser triangular, quadrangular, pentagonal, hexagonal.

Além das faces o prima é composto de altura, lados, vértices e arestas unidos por paralelogramos. De acordo com sua inclinação, os prismas podem ser retos, aqueles em que a aresta e a base fazem um ângulo de 90º ou os oblíquos compostos de ângulos diferentes de 90º.

Área de cada Face: a.h
Área das Laterais: 6.a.h
Área da base: calculle a área de um triangulo do hexagono e faça vezes 6
Volume: Área da base. h

• Cone

• Cilindro

• Esfera

O ensino da geometria é de extrema importância para a vida cidadão no seu meio social, pois desenvolve o raciocínio visual , proporcionando ao aluno no seu desenvolvimento lógico e o crescimento da criatividade.