Equação do 2º grau

DEFINIÇÃO

Uma equação do 2º grau com uma variável tem a forma:

ax² + bx + c = 0

onde os números reais a, b e c são os coeficientes da equação, sendo que a deve ser diferente de zero. Essa equação é também chamada de equação quadrática, pois o termo de maior grau está elevado ao quadrado

x é a incógnita

a,b, e c números reais, chamados de coeficientes


Equação Completa do segundo grau



Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.

Exemplos:

1) 2 x² + 7x + 5 = 0, onde a = 2, b = 7 e c = 5

2) 3 x² + x + 2 = 0, onde a = 3 , b = 1 e c = 2

3)  x² -7 x + 10 = 0, onde a = 1, b = -7 e c = 10

4) 5x² - x -3 = 0, onde a = 5, b = -1 e c = -3



Resolução de equações completas do 2° grau

Como vimos, uma equação do tipo: ax² + bx + c= 0, é uma equação completa do segundo grau e para resolvê-la basta usar a fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara), que pode ser escrita na forma:

Δ = b²- 4ac é o discriminante da equação.

Para esse discriminante Δ, há três possíveis situações:

1) Δ > 0 , a equação te duas raízes reais e diferentes.

2)  Δ = 0, a equação tem uma raiz

3)  Δ < 0 , a equação não tem raízes reais

Mostraremos agora como usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação:

x² - 5 x + 6 = 0

1) Identificar os coeficientes: a = 1, b = -5, c = 6

2) Escrever o discriminante Δ = b²-4ac.

3) Calcular Δ = (-5)² -4×1×6 = 25-24 = 1

4) Escrever a fórmula de Bhaskara:













EXEMPLOS

EXERCÍCIOS

1. Calcular o discriminante de cada equação e analisar as raízes em cada caso:

a) x² + 9 x + 8 = 0 (R:-1 e -8)
b) 9 x² - 24 x + 16 = 0 (R:4/3)
c) x² - 2 x + 4 = 0 (vazio)
d) 3 x² - 15 x + 12 = 0 (R: 1 e 4)
e) 10 x² + 72 x - 64 = 0 (R:-8 e 4/5)
e) 5x² - 3x - 2 = 0 (R: 1 e -2/5)
f) x² - 10x + 25 = 0 (R: 5)
g) x² - x - 20 = 0 (R: 5 e -4)
h) x² - 3x -4 = 0 (R: 4 e -1)
i) x² - 8x + 7 = 0 (R: 7 e 1)



RESOLVA AS EQUAÇÕES DE 2º GRAU


1) x² - 5x + 6 = 0 _____(R:2,3)
2) x² - 8x + 12 = 0 ______(R:2,6)
3) x² + 2x - 8 = 0______ (R:2,-4)
4) x² - 5x + 8 = 0 ______(R:vazio)
5) 2x² - 8x + 8 = 0_______ (R:2,)
6) x² - 4x - 5 = 0_______ (R:-1, 5)
7) -x² + x + 12 = 0_______ (R:-3, 4)
8) -x² + 6x - 5 = 0_______ (R:1,5)
9) 6x² + x - 1 = 0______ (R:1/3 , -1/2)
10) 3x² - 7x + 2 = 0 ______(R:2, 1/3)
11) 2x² - 7x = 15 _______(R:5, -3/2)
12) 4x² + 9 = 12x______ (R:3/2)
13) x² = x + 12 ______(R:-3 , 4)
14) 2x² = -12x - 18 _____(R:-3 )
15) x² + 9 = 4x_____ (R: vazio)
16) 25x² = 20x – 4 ____(R: 2/5)
17) 2x = 15 – x² ______(R: 3 , -5)
18) x² + 3x – 6 = -8____ (R:-1 , -2)
19) x² + x – 7 = 5 ____(R: -4 , 3)
20) 4x² - x + 1 = x + 3x² ___(R: 1)
21) 3x² + 5x = -x – 9 + 2x²____ (R: -3)
22) 4 + x ( x - 4) = x _____(R: 1,4)
23) x ( x + 3) – 40 = 0 _____(R: 5, -8)
24) x² + 5x + 6 = 0 _____(R:-2,-3)
25) x² - 7x + 12 = 0 _____(R:3,4)
26) x² + 5x + 4 = 0 _____(R:-1,-4)
27) 7x² + x + 2 = 0 _____(vazio)
28) x² - 18x + 45 = 0 _____(R:3,15)
29) -x² - x + 30 = 0 _____(R:-6,5)
30) x² - 6x + 9 = 0 _____(R:3)
31) ( x + 3)² = 1_______(R:-2,-4)
32) ( x - 5)² = 1_______(R:6,4)
33)( 2x - 4)² = 0_______(R:2)
34) ( x - 3)² = -2x²_______(R:vazio)

35)Na equação 3x² - 12 = 0 as soluções são:
a)0 e 1
b)-1 e 1
c)-2 e 2 (x)
d)-3 e 3
e)0 e 4

36) x² + 3x - 28 = 0 (R: -7,4)
37) 3x² - 4x + 2 = 0 (R: vazio)
38) x² - 3 = 4x + 2 (R: -1,5)

Vanguardas europeias - Cubismo

Cubismo

O cubismo foi uma vanguarda artística europeia marcada pelo uso de formas geométricas. Surgido no início do século XX na França, esse novo estilo rompeu com os modelos estéticos que só valorizavam a perfeição das formas.

Esse movimento pode ser considerado o primeiro a se caracterizar pela incorporação do imaginário urbano industrial em suas obras. Abrangeu sobretudo as artes plásticas e influenciou a literatura.

Origem do Cubismo

O marco para o surgimento do cubismo foi em 1907, com a tela Les Demoiselles d'Avignon(As damas d'Avignon), do pintor espanhol Pablo Picasso.

Les Demoiselles d'Avignon (1907) de Pablo Picasso. 244 x 234 cm. MoMa, Nova Iorque

Essa obra apresenta influências visíveis das esculturas africanas e das pinturas do pós-impressionista francês Paul Cézanne.

Ao lado de Picasso, o pintor e escultor francês Georges Braque também foi fundador do movimento cubista.

Principais Características do Cubismo

Com o cubismo teremos um tratamento geométrico das formas da natureza.

Assim, elas passam a ser representadas pelos objetos em todos os seus ângulos no mesmo plano, constituindo uma figura em três dimensões.

Predominam as linhas retas, modeladas basicamente por cubos e cilindros, dada a geometrização das formas e volumes.

Essa técnica que renuncia à perspectiva, assim como ao "claro-escuro", causa uma sensação de pintura escultórica.

No plano conceitual, o cubismo pode ser considerado como uma arte que privilegia o exercício mental como maneira de expressão das ideias.

Ao romper com a perspectiva consagrada das linhas de contorno, a natureza passa a ser retratada simplificadamente.

Isso permite maior abstração sobre os atributos estéticos da obra, ao mesmo tempo em que recusa a ideia de arte enquanto pura imitação da natureza. Sobre isso, Georges Braque afirmou:

Não se imita aquilo que se quer criar.

Vale citar que este estilo abandona distinções entre forma e fundo ou qualquer noção de profundidade.

Os temas como naturezas mortas urbanas e retratos são utilizados pelos pintores cubistas como recursos para experimentar e criar baseados nas particularidades dessa vertente.

Fases do Cubismo

O cubismo é dividido em três fases:

Fase Cezannista ou Cezaniana (1907 a 1909)

Autorretrato (1907) de Pablo Picasso

Também chamada de fase pré-analítica, o nome já indica que esse período foi caracterizado pela influência dos trabalhos do artista plástico francês Paul Cézanne.

Nessa fase, os artistas começaram suas experiências com as simplificações das formas e mais tarde passaram a representar as figuras dispostas em um mesmo plano.

Era como se estivessem abertas na tela, vistas de frente pelo público.

Fase Analítica ou Hermética (1909 a 1912)

À esquerda, O poeta (1911), de Picasso. À direita, Violino e Castiçal (1910), de Braque.

A fase analítica caracterizou-se pela cor moderada, acentuando-se tons de marrons, pretos, cinzas e ocres. Tal escolha das cores se deu pois o mais importante era a exibição do tema fragmentado, disposto em todos os ângulos possíveis.

Esse esfacelamento das formas chegou a níveis tão elevados que, ao final, as figuras acabaram por se tornarem irreconhecíveis.

Fase do Cubismo Sintético (1911)

À esquerda, Homem no Café (1914), de Juan Gris. À direita, Mulher com Violão (1908), de Braque

O cubismo sintético caracterizou-se pelas cores mais fortes e um retorno ao figurativo, na medida em que buscou tornar as figuras reconhecíveis novamente, mas sem voltar a um tratamento realista.

Nessa fase, passa-se a empreender o método de colagem, fixando objetos reais na tela, como pedaços de madeira, vidro e metal.

Além disso, introduziram recortes de jornais com palavras e números. Esses recursos eram utilizados a fim de extrapolar os limites das sensações visuais que a pintura insinua, explorando os sentidos do tato também.

Cubismo e Ciência

No início do século XX houve uma admirável convergência de saberes e interesses de vários campos do conhecimento.

Nesse momento, a arte irá se colocar, especialmente com o cubismo, em sintonia com investigações científicas de ponta que ocorriam na física e na geometria.

Quando o cubismo rompeu com séculos de prioridade do uso da perspectiva na representação pictórica, acabou por conduzir às noções geométricas de hiper poliedros e multidimensionalidade.

Isso permitiu aos artistas cubistas a formulação de um conceito espacial até então inédito, a saber, a "quarta dimensão". Nela, as propriedades espaço-temporais estão em afinidade com a "Teoria da Relatividade" (1905) de Einstein.

Cubismo no Brasil

À esquerda, São Paulo (1924), de Tarsila do Amaral. À direita, Pietà (1966), de Rego Monteiro

No Brasil, somente após a Semana de Arte Moderna de 1922 é que o movimento cubista irá ganhar força.

Ainda que os artistas brasileiros não tenham se entregado às características exclusivamente cubistas, é possível perceber influências claras dessa vertente.

A artista Tarsila do Amaral foi umas personalidades que utilizou características cubistas em suas telas. Nelas, notamos a influência dessa vanguarda europeia pelo uso das formas geométricas.

Ainda nas artes plásticas, vale ressaltar os trabalhos de outros artistas brasileiros: Anita Malfatti, Rego Monteiro e Di Cavalcanti.

Já a literatura cubista no Brasil teve como destaque as obras dos escritores: Oswald de Andrade, Raul Boop e Érico Veríssimo. Note que a literatura cubista teve como foco a "destruição da sintaxe", pondo fim à linearidade.

Principais Pintores Cubistas

Os maiores representantes da pintura cubista foram:

·         Pablo Picasso (1881-1973)

·         Georges Braque (1882-1963)

·         Juan Gris (1887-1927)

·         Fernand Léger (1881-1955)

·         Diego Rivera (1886-1957)

Principais Escultores Cubistas

Os maiores representantes da escultura cubista foram:

·         Raymond Duchamp-Villon (1873-1918)

·         Constantin Brancusi (1876-1957)

Principais Escritores Cubistas

Os principais escritores com influência do cubismo foram:

·         Guillaume Apollinaire (1880-1918)

·         Jean Cocteau (1889-1963)

·         Oswald de Andrade (1890-1954)

·         Érico Veríssimo (1905-1975)

·         Raul Bopp (1898-1984)

Equações do primeiro grau

Equações do primeiro grau são expressões algébricas que envolvem uma igualdade. Por serem expressões algébricas, as equações envolvem números e letras. Essas letras representam números até então desconhecidos e são chamadas de incógnitas.

• Primeiro e segundo membros da equação de 1º grau

Tendo como ponto de partida o sinal de igualdade, uma equação do primeiro grau possui dois membros. O primeiro membro é composto por todos os números e letras presentes à esquerda do sinal de igual. O segundo membro é composto por todos os números e incógnitas presentes à direita da igualdade. Dessa maneira, tomando a equação 4x + 16 = 2x – 8 como exemplo, 4x + 16 é o primeiro membro e 2x – 8 é o segundo membro.

• Termo da equação de 1º grau

Cada elemento pertencente a um membro da equação do primeiro grau é chamado de termo. Assim sendo, com base no exemplo anterior, 4x, 16, 2x e -8 são os termos presentes no primeiro e segundo membros da equação.

• Grau da equação de 1º grau

O grau de uma equação é dado por um dos termos que possui incógnita. Para isso, observe entre as incógnitas aquela que possui maior expoente. Nas equações do primeiro grau, os expoentes das incógnitas são sempre 1 e, por isso, não aparecem. Equações de segundo grau têm pelo menos uma incógnita elevada ao quadrado; as do terceiro grau possuem pelo menos uma incógnita elevada ao cubo e assim por diante.

• Como resolver uma equação do primeiro grau?

Resolver uma equação é encontrar o valor numérico de x que faz com que a igualdade da equação seja verdadeira. A estratégia para encontrar o valor de x é isolá-lo no primeiro membro. Por exemplo, observe a equação:

2x = 6

Para resolvê-la, é necessário encontrar um valor que, multiplicado por 2, tenha 6 como resultado. Esse valor é 3, pois 2·3 = 6. Desse modo, a solução da equação deve ser escrita da seguinte maneira:

2x = 6

x = 3

Observe que, em x = 3, isolamos x no primeiro membro e escrevemos seu resultado no segundo. Descobrir o resultado de equações que envolvem apenas a tabuada, como a anterior, é tarefa fácil e pode ser feito por meio de tentativa e erro. Porém, não é preciso dificultar muito a equação para que esse método (tentativa e erro) falhe ou exija muitas tentativas. Observe, por exemplo, a equação:

5x = 25
3        

Para resolver essa equação, procuramos um número que, multiplicado por 5 e dividido por 3, tenha 25 como resultado. Note que o resultado dessa equação não é tão óbvio quanto o resultado da última. É possível testar as possibilidades de resultado até encontrar o resultado correto, contudo, o melhor caminho para encontrá-lo seria o uso da propriedade fundamental das equações.

• Propriedade fundamental das equações

A propriedade fundamental das equações é utilizada como um dos métodos de resolução de equações. Esse método é pouco utilizado no Brasil, mas possui a grande vantagem de se resumir a uma única regra. A propriedade fundamental das equações é a seguinte:

Qualquer operação feita no primeiro membro de uma equação, desde que também seja feita igualmente no segundo membro, não modifica os seus resultados.

Essa propriedade é conhecida como regra da balança, pois o que é feito no primeiro membro da equação deve ser repetido no segundo. Observe:

1 – Qual é o valor de x na equação 2x = 6?

Para resolver essa equação seguindo a regra da balança, divida os dois membros por 2. Note que, dessa maneira, no primeiro membro, restará apenas x, pois 2 dividido por 2 é 1 e 1 vezes x é x. Já no segundo membro, teremos o resultado 3. Observe:

2x = 6

2x = 6
2     2

1x = 3

x = 3

2 – Qual é o valor de x na equação x + 7 = 14?

Dessa vez, para isolar x no primeiro membro, devemos utilizar a subtração. Basta subtrair 7 dos dois membros da equação para encontrar o seu resultado. Observe:

x + 7 = 14

x + 7 – 7 = 14 – 7

x = 7

3 – Qual é o valor numérico de x na equação 2x + 7 = 17

Pode-se dividir o trabalho em dois passos. Primeiramente faça subtrações e adições para isolar o termo que possui x do lado esquerdo. Depois, faça multiplicações e divisões para isolar x no primeiro membro. Observe:

2x + 7 = 17

2x + 7 – 7 = 17 – 7

2x = 10

2x = 10
2      2

1x = 5

x = 5

4 – Qual é o valor numérico da equação: 4x + 7 = 2x – 7?

Antes de mais nada, é preciso que os termos que possuem incógnita estejam todos no primeiro membro. Portanto, subtrairemos 2x em ambos os membros para que 2x seja eliminado no segundo. Observe:

4x + 7 – 2x = 2x – 7 – 2x
4x + 7 – 2x = – 7

Agora, é necessário deixar no primeiro membro apenas termos que possuem incógnita. Portanto, para que 7 seja eliminado do primeiro membro, subtrairemos 7 em ambos os membros dessa equação.

4x + 7 – 2x – 7 = – 7 – 7

4x – 2x = – 14

2x = 14

Para finalizar, dividimos ambos os membros por 2 para que x fique isolado no primeiro membro.

2x = 14
2      2

1x = 7

x = 7