Operações Fundamentais

OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS

No Ensino Fundamental quando nos referimos ao ensino das operações (adição, subtração, multiplicação e divisão) é essencial o desenvolvimento de diferentes estratégias de cálculo (mental, escrito e com calculadora) e a exploração e o uso de técnicas operatórias (algoritmos) que vão adquirindo significado à medida que vão sendo sistematizadas. Hoje nossa maior preocupação é fazer com que os alunos não memorizem regras para realizar técnicas operatórias. Seja qual for a técnica utilizada, os alunos devem compreendê-la e saber explicá-la.

ADIÇÃO

      Trabalhar agrupamentos e trocas com os alunos, facilita a realização de adições com reserva pois, a cada grupo de 10 unidades, temos 1 dezena, justificando assim o “vai um”.

Exemplo:

Carlos comprou 14 pacotes de figurinhas e Isabel comprou 28 pacotes. Quantos pacotes de figurinhas os dois possuem juntos?

14 + 28 =

			1       10    14®  10 + 4 + 28®  20 + 8    42      40 + 2

 

                                                                                                                                   

SUBTRAÇÃO

A subtração envolve três idéias básicas:

Subtrativa: idéia de retirar

Eu tinha 5 figurinhas num álbum e perdi 2. Com quantas figurinhas fiquei? 5 – 2 =  3

Comparativa: idéia de comparar

Tenho 5 figurinhas e meu irmão tem 2. Quantas figurinhas tenho a mais que meu irmão? 5 – 2 = 3

Aditiva: idéia de completar

Na página de meu álbum cabem 5 figurinhas. Já tenho 2. Quantas figurinhas faltam? 5 – 2 =  3

Nas três situações a operação é a mesma, porém as idéias são diferentes.

MULTIPLICAÇÃO

É a operação de juntar várias quantidades iguais

Adição de parcelas iguais:  3 + 3 + 3 + 3 = 12   Þ   4 x 3 = 12

- O sinal da multiplicação é o x

- Os termos da multiplicação são os fatores

- O produto é o resultado da multiplicação

 

DIVISÃO

A divisão está ligada a duas idéias básicas: repartir uma quantidade em quantidades iguais e medir.

Repartir: Tenho 50 metros de corda e quero dividir essa quantidade de corda em 5 pedaços iguais. Qual será a medida de cada pedaço?  50 m : 5 pedaços = 10 m

Medir: Tenho 50 metros de corda e vou cortá-la em pedaços de 5 metros cada um. Quantos pedaços de corda vou obter? 50 m : 5 m = 10 pedaços

EXERCÍCIO

1)      Cinara comprou uma sombrinha por R$ 18,00, uma bota por R$ 98,00 e um casaco por R$ 620,00 Quanto Cinara gastou ao todo?

2)      No supermercado gastei R$ 18,50 em verduras, R$ 15,00 em doces e R$ 36,80 em frutas. Quanto gastei no supermercado?

3)      Comprei três peças de fita. A primeira com 10 m, a segunda com 95 m e a terceira com 48 m, quantos metros comprei?

4)      Tenho R$ 86,50 para comprar uma boneca, mas ainda me falta R$ 12,50. Qual é o preço da boneca?

5)      Antonio tem 15 amos, Quantos anos terá daqui a 29 anos?

6)      Uma pessoa gastou R$ 25,50 em chocolates, R$ 17,50 em doces, R$ 9,60 balas, ficando ainda com importância igual à que gastou. Quantos possuía antes de fazer as compras?

7)      Um menino vendendo jornais no primeiro dia do trabalho, recebeu R$ 15,00 no segundo dia R$ 35,00 mais que o primeiro dia e no terceiro dia recebeu R$ 6,00 mais que no fim do segundo dia. Quanto recebeu ao todo?

8)      Calcule a soma de 5 números, sabendo-se que p primeiro é 19 e os seguintes valem o dobro do anterior.

9)      Paguei uma divida em 4 prestações mensais na 1º prestação paguei R$ 250,00 e nas seguintes R$ 30,00 mais que a primeira. Qual era a divida?

10)  Paguei R$ 138,50 no armazém, R$ 112,00 no açougue, R$ 12,60 na farmácia e R$ 36,00 na padaria. Tendo ficado com R$ 117,50 e tendo ainda gasto R$ 111,40 em outras despesas , Quanto recebi neste mês?

11)  Se eu tivesse R$ 1,10 a mais do que eu tenho, poderia comprar um caderno de R$ 7,50, um lápis de R$ 2,70 e uma borracha de R$ 2,50 .Quanto tenho?

12)  Paulo deu 9 laranjas a Luis. Se tivesse dado mais uma dúzia teria ficado com 79. Quanto tinha?

13)  A soma de dois números é 2176; um deles é 1739 Qual é o outro?

14)  Teresa e Maria têm R$ 320,00, Teresa tem R$ 170,00 Quanto Maria tem a menos que Teresa?

15)  Eduardo comprou uma bicicleta por R$ 750,00; gastou R$ 35,00 para pintá-la e R$ 28,00 para consertos. Querendo vendê-la com um lucro de R$ 165,00 Por quanto vendê-la?

 POTENCIAÇÃO

Consideremos uma multiplicação em que todos os fatores são iguais

Exemplo

5x5x5, indicada por 5³

ou seja , 5³ = 5x5x5 = 125

onde :

5 é a base (fator que se repete)

3 é o expoente ( o número de vezes que repetimos a base)

125 é a potência ( resultado da operação)

Outros exemplos :
a) 7² = 7x7 = 49
b) 4³ = 4x4x4 = 64
c) 5⁴ = 5x5x5x5 = 625
d) 2⁵ = 2x2x2x2x2 = 32

Por convenção temos que:

1) todo o número elevado ao expoente 1 é igual à própria base,

Exemplo: a) 8¹ = 8
                 b) 5¹ = 5

2) todo o número elevado ao expoente zero é igual a 1

Exemplo: a) 8º = 1
                 b) 4º = 1


EXERCÍCIOS

1) Em 7² = 49, responda:

a) Qual é a base?
b) Qual é o expoente?
c) Qual é a potência?

2) Escreva na forma de potência:

a) 4x4x4 = 
b) 5x5 =  
c) 9x9x9x9x9 =  
d) 7x7x7x7 = 
e) 2x2x2x2x2x2x2 = 

3) Calcule a potência:

a) 3² =
b) 8² =
c) 2³=
d) 3³ =
e) 6³ =
f) 2⁴ =
g) 1⁶ =
h) 47¹ =
i) 67⁰ = 

PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO

1ª Propriedade: Multiplicação de potências de mesma base

Ao multiplicar potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes.

exemplo: 3² x 3⁵ = 3²⁺⁵ = 3⁷

2ª Propriedade: Divisão de Potência de mesma base

Ao dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes.

Exemplos: a) 8⁹: 8² = 8⁹⁻² = 8⁷

                  b) 5⁴ : 5 = 5⁴⁻¹ = 5³

3ª Propriedade: Potência de Potência

Ao elevar uma potência a um outro expoente, repetimos a base e multiplicamos os expoentes.

Exemplo: (7²)³ = 7^2x3 = 7⁶

EXERCÍCIOS

1) Reduza a uma só potência

a) 4³ x 4 ² =
b) 7⁴ x 7⁵ =
c) 2⁶ x 2² =
d) 6³ x 6 =

2) Reduza a uma só potência

a) 5⁴ : 5² =
b) 8⁷ : 8³ =
c) 9⁵ : 9² =
d) 4³ : 4² =

3) Reduza a uma só potência:

a) (5⁴)² =
b) (7²)⁴ =
c) (3²)⁵ =
d) (4³)² =

RADICIAÇÃO

Qual o número que elevado ao quadrado é igual a 9?

Solução

Sendo 3² = 9, podemos escrever que √9 = 3

Essa operação chama-se radiciação, que é a operação inversa da potenciação

Exemplos

Potenciação------------------------radiciação
a) 7² = 49 ---------------------------- √49= 7
b) 2³= 8 ------------------------------ ∛8 = 2
c) 3⁴= 81 ---------------------------- ∜81 = 3

O sinal √ chamamos de radical
O índice 2 significa : raiz quadrada
O índice 3 significa: raiz cúbica
O índice 4 significa: raiz quarta

assim:

√49= 7 lê-se: raiz quadrada de 49

∛8 = 2 lê-se : raiz cúbica de 8

∜81 = 3 lê-se: raiz quarta de 81

Nota:

Não é necessário o índice 2 no radical para a raiz quadrada


EXERCÍCIOS

1)Descubra o número que :

a) elevado ao quadrado dá 9
b) elevado ao quadrado dá 25
c) elevado ao cubo dá 8

3) Determine a Raiz quadrada:


c) √25 =
d) √81 =
f) √1 =
g) √64 =
h) √100 = 

Equação do 1° grau

Equação do 1° grau

    Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos:

2x + 8 = 0

5x - 4 = 6x + 8

3a - b - c = 0

 Não são equações:

4 + 8 = 7 + 5   (Não é uma sentença aberta)

x - 5 < 3   (Não é igualdade)

  

 Considera a equação 2x - 8 = 3x -10

  A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa " desconhecida".

   Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que sucede, 2º membro.

                                           Exercícios resolvidos

Resolva as equações a seguir:

a) x – 3 = 9

   x – 3 + 3 = 9 +3

   x = 12

b) 5x = 10 + 4x

    5x – 4x = 10 + 4x – 4x  

    x = 10

c)18x - 43 = 65

   18x = 65 + 43

   18x = 108

        x = 108/18

        x = 6

d) 23x – 16 = 14 – 17x

       23x = 14 – 17x + 16

       23x + 17x = 30

       40x = 30

           x = 30/40 = ¾

e) 10y – 5 (1 + y) = 3 (2y – 2) – 20

      10y – 5 – 5y = 6y – 6 – 20 

        5y – 6y = –26 + 5

           –y = –21

            y = 21

EXERCICIOS

1) Resolva as seguintes equações:

a) x + 5 = 8

b) x - 4 = 3

d) x -3 = - 7

e) x + 9 = -1

2) Resolva as seguintes equações:

a) 3x = 15

b) 4x = -12

c) 13x = 13

d) 9x = -9

e) 25x = 0

f) x/3 =7

g) x/4 = -3

 

3)Resolva as equações:

a) 6x = 2x + 16

b) 2x – 5 = x + 1

c) 2x + 3 = x + 4

d) 5x + 7 = 4x + 10

4) Resolva as seguintes equações:

a) 4x – 1 = 3 ( x – 1)

b) 3( x – 2) = 2x – 4

c) 2( x – 1) = 3x + 4

d) 3(x – 1) – 7 = 15

e) 3 ( x –2) = 4(3 – x)

f) 3 ( 3x – 1) = 2 ( 3x + 2)

g) 7 ( x – 2 ) = 5 ( x + 3 )

EXERCÍCIOS EM SITUAÇAO PROBLEMA

1) O dobro de um número aumentado de 15, é igual a 49. Qual é esse número? 

2) A soma de um número com o seu triplo é igual a 48. Qual é esse número? 

3) A idade de um pai é igual ao triplo da idade de seu filho. Calcule essas idades, sabendo que juntos têm 60 anos. 

4) Somando 5 anos ao dobro da idade de Sônia, obtemos 35 anos. Qual é a idade de Sônia? 

5) O dobro de um número, diminuído de 4, é igual a esse número aumentado de 1. Qual é esse número? 

6) O triplo de um número, mais dois,é igual ao próprio número menos quatro. Qual é esse número?

7) O quádruplo de um número, diminuído de 10, é igual ao dobro desse número, aumentado de 2. Qual é esse número?

8) O triplo de um número, menos 25, é igual ao próprio número mais 55. Qual é esse número?

9) Num estacionamento há carros e motos, totalizando 78. O número de carros é igual a 5 vezes o de motos. Quantas motos há no estacionamento?

10) Um número somado com sua quarta parte é igual a 80. Qual é esse número? 

11) Um número mais sua metade é igual a 15. Qual é esse número? 

12) A diferença entre um número e sua quinta parte é igual a 32. Qual é esse número? 

13) O triplo de um número é igual a sua metade mais 10. Qual é esse número?

14) O dobro de um número menos 10, é igual à sua metade, mais 50. Qual é esse número?

15) Subtraindo 5 da terça parte de um número, obtém-se o resultado 15. Qual é esse número? 

Expressões Algébricas

Expressões Algébricas

Expressões algébricas são expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números, são também denominadas expressões literais. As letras constituem a parte variável das expressões, pois elas podem assumir qualquer valor numérico. No passado as letras foram pouco utilizadas na representação de números desconhecidos, atualmente as letras associadas a números constituem a base da álgebra e contribui de forma eficiente na resolução de várias situações matemáticas.

Observe os dois tipos de expressões matemáticas:

 Expressões numéricas                                    Expressões algébricas

a) 7 – 1 + 4                                                         a) x + y – z

b) 2.5 – 3                                                            b) 2 x – 4 a + 1

• Expressões numéricas – possuem apenas números
• Expressões algébricas – possuem números e letras ou apenas letras

 Valor numérico de uma expressão algébrica

 Para obter o valor numérico de uma expressão algébrica, você deve proceder do seguinte modo:

 1º) Substituir as letras por números reais dados.

 2º) Efetuar as operações indicadas, devendo obedecer à seguinte ordem:

• Potenciação
• Divisão e multiplicação
• Adição e subtração

 Observação: Utilize parênteses quando substituirmos letras por números negativos.

  

Exemplo: Calcular o valor numérico de 2 x + 3 y para x = 5 e y = – 5.

Solução: Vamos trocar x por 5 e y por – 5.

2 x + 3 y = 2.5 + 3.( – 5 ) ↔ =10 + ( – 15) ↔ =10 – 15 ↔ = – 5

EXERCÍCIO

1 – Determine o valor numérico de 5m + 2x para os seguintes casos:

a) m = 2 e x = 3

b) m = 4 e x = - 7

c) m = - 4 e x = 9

d) m = - 1 e x = - 2

e) m = 8 e x = - 10

f) m = 3 e x = 1/2

Sistema de Numeração Decimal

         SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL

O nosso sistema de numeração é decimal ou seja, os elementos são agrupados de 10 em 10; 10 unidades agrupadas formam uma dezena; 10 dezenas agrupadas formam uma centena, distribuídos em classes e ordem.

3ª classe			2ª classe			1ª classe
Milhões			Milhares			Unidades simples
9ª ordem	8ª ordem	7ª ordem	6ª ordem	5ª ordem	4ª ordem	3ª ordem	2ª ordem	1ª ordem
Centena de milhão	Dezena de milhão	Unidade de milhão	Centena de milhar	Dezena de milhar	Unidade de milhar	Centena	Dezena	Unidade

No sistema de numeração decimal usam-se dez símbolos, chamados algarismos, para grafar os numerais. São eles: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Um mesmo algarismo representa valores diferentes, dependendo da posição que ocupa no numeral.

VALOR ABSOLUTO é o número de unidades que o algarismo representa quando isolado, isto é, sem depender da posição que ocupa no numeral.

VALOR RELATIVO é o valor que o algarismo representa, dependendo da posição que ocupa no numeral.

Exemplo: Observe a posição do número 6 em cada numeral. Dê o valor absoluto (VA) e o valor relativo (VR).

a) 8.643:    VA = 6      VR = 600                 

b) 86.403:  VA = 6      VR = 6.000

Aplicando Conhecimentos

1) Observe o numeral e responda:      17.346

a) O numeral possui ______ ordens. Ele é formado por ___ classes.

b) O algarismo 7 ocupa a ____ ordem; o algarismo 4 ocupa a ____ ordem.

c) Qual o algarismo que ocupa a 3ª ordem? _____________________

d) Qual o algarismo que ocupa a 4ª ordem? _____________________

2) Responda:

a) Qual o valor relativo do algarismo 9 no numeral 9.756? _________________

b) Qual o valor absoluto do algarismo 4 no numeral 4.835? _______________

c) Qual o valor relativo do algarismo 5 no numeral 5.366? __________________

d) Qual o valor absoluto do algarismo 7 no numeral 2.763? _________________

3) Escreva os numerais correspondentes:

a)    6 centenas e 8 dezenas________________________

b)   9 centenas, 9 dezenas e 9 unidades_______________

c)    3 unidades de milhar, 5 centenas e 4 dezenas__________________

d)   7 unidades de milhar, 9 centenas, 6 dezenas e 8 unidades___________________

e)    1 dezena de milhar, 2 unidades de milhar, 4 centenas_______________________

f)    4 centenas de milhar, 3 dezenas de milhar e 5 unidades de milhar_____________

Atividade de Matemática      ______ / ______ / 2016

Nome: _________________________________________________

1) Observe o numeral e responda:      25.968

a)  O algarismo 5 ocupa a ____ ordem

b)  O algarismo 6 ocupa a ____ ordem.

c) Qual o algarismo que ocupa a 3ª ordem? _____________________

2) Responda:

a) Qual o valor relativo do algarismo 6 no numeral 5.674? _________________

b) Qual o valor absoluto do algarismo 8 no numeral 8.135? _______________

c) Qual o valor relativo do algarismo 7 no numeral 75.366? ________________

d) Qual o valor absoluto do algarismo 5 no numeral 12.753? _________________

3) Escreva os numerais correspondentes:

a)  4 unidades de milhar, 2 centenas, 6 dezenas e 3 unidades ___________________

b)  5 dezenas de milhar, 7 unidades de milhar, 4 centenas e duas unidades __________

c)   6 centenas de milhar, 8 dezenas de milhar, 2 unidades de milhar e 5 dezenas ______

4) Escreva como se lê:

5.926 ________________________________________________________________

3.728 _______________________________________________________________

6.904 ________________________________________________________________