22/02/2016

Conjuntos

CONJUNTOS
Em Matemática, conjunto é uma coleção de objetos (chamados elementos). Os elementos podem representar qualquer coisa — números, pessoas, letras, etc - até mesmo outros conjuntos. Um conjunto pode conter outro(s) conjunto(s), inclusive. Incorretamente chamada de "Teoria dos Conjuntos" no ensino médio. Matematicamente o conjunto é representado por uma letra do alfabeto latino, maiúscula (A, B, C, ...). Já os elementos do conjunto são representados por letras latinas minúsculas. E a representação completa do conjunto envolve a colocação dos elementos entre chaves, da seguinte maneira:
A=\{v,x,y,z\}
Para um conjunto A de 4 elementos v, x, y e z
Conjunto unitário - Um conjunto unitário possui um único elemento.
Conjunto vazio - Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado por \{\}\emptyset \varnothing  ou \phi . Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não está contido no conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos.
Subconjuntos
http://upload.wikimedia.org/wikibooks/pt/thumb/f/f2/Conjuntos_subconjunto.png/120px-Conjuntos_subconjunto.png
Dizemos que um conjunto A é subconjunto de outro conjunto B quando todos os elementos de A também pertencem a B. Por exemplo:
A = { 1,2,3 } e B = { 1,2,3,4,5,6 }
Nesse caso A é subconjunto de B, é indica-se A\subset B. Deve-se reparar que B é subconjunto de si mesmo; os subconjuntos de B que não são iguais a B são chamados subconjuntos próprios.
Nota: O conjunto vazio, { } ou Ф, é um subconjunto de todos os conjuntos.
Conjunto das partes
Dado um conjunto A, definimos o conjunto das partes de A, {\mathcal  {P}}(A), como o conjunto que contém todos os subconjuntos de A(incluindo o conjunto vazio e o próprio conjunto A).
Uma maneira prática de determinar {\mathcal  {P}}(A) é pensar em todos os subconjuntos com um elemento, depois todos os subconjuntos com dois elementos, e assim por diante.
Exemplo:
Se A = { 1, 2, 3 }, então {\mathcal  {P}}(A) = { , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }.
Relação de inclusão
Para relacionar um conjunto com outro conjunto(ou subconjunto) utilizamos a relação de inclusão.
Exemplo: Se considerarmos o conjunto A formado por todas as letras do alfabeto e o conjunto V formado pelas vogais, podemos dizer que A\supset V (A contém V) ou V\subset A (V está contido em A)
Relação de pertinência
Se \,\!a é um elemento de A, nós podemos dizer que o elemento a pertence ao conjunto A e podemos escrever a\in A. Se a não é um elemento de A, nós podemos dizer que o elemento a não pertence ao conjunto A e podemos escrever a\not \in A.
Exemplos:
c\in \{a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l\}
c\ \not \in \ \{a,e,i,o,u\}
Operações com conjuntos
União
A união de dois conjuntos A e B é um conjunto que contém todos os elementos de A todos os elementos de B, e nada mais, além disso. Ou então: Dado um universo U e dois conjuntos A e B, chama-se união de A com B ao conjunto cujos elementos pertencem pelo menos ao conjunto A ou ao conjunto B. Matematicamente:
A\cup B=\{x\in U|x\in A\lor x\in B\}
Por exemplo:
a) Se A=\{a,e,i\} e  B=\{o,u\} logo:
A\cup B=\{a,e,i,o,u\}
b) Se A=\{2,3,4,5\} e B=\{1,3,5\} então:
A\cup B=\{1,2,3,4,5\}

Intersecção
A intersecção de dois conjuntos A e B é o conjunto de elementos que pertencem aos dois conjuntos. Ou então: Dados dois conjuntos A e B, pertencentes a um universo U, chama-se intersecção de A com B ao conjunto cujos elementos pertencem tanto a A quanto a B. Matematicamente:
A\cap B=\{x\in U|x\in A\land x\in B\}
Por exemplo: Sendo A=\{1,2,3\} e B=\{3,4,5\}, temos:
A\cap B=\{3\}
Diferença
Dado um universo U ao qual pertencem dois conjuntos A e B, chama-se diferença de A menos B ao conjunto de elementos que pertencem a A e não pertencem a B; chama-se de diferença de B menos A ao conjunto de elementos que pertencem a B e não pertencem a A. Matematicamente:
A-B=\{x\in U|x\in A\land x\not \in B\} e/ou B-A=\{x\in U|x\in B\land x\not \in A\}
Por exemplo: Sendo A=\{1,2,3\} e B=\{3,4,5\}, temos:
A – B  = {1, 2}  e  B – A  = {4, 5}

Complementar
Dado um universo U, diz-se complementar de um conjunto A, em relação ao universo U, o conjunto que contém todos os elementos presentes no universo e que não pertençam a A.Também define-se complementar para dois conjuntos, contanto que um deles seja subconjunto do outro. Nesse caso, diz-se, por exemplo, complementar de B em relação a A (sendo B um subconjunto de A) — é o complementar relativo — e usa-se o símbolo \complement . Matematicamente:

\complement B_{A}=\{x\in A|x\not \in B\}

CONJUNTOS NUMÉRICOS

Conjunto dos Números Naturais
N = {0,1,2,3,4,5,…}
(*) Este símbolo exclui o zero.
N* = {1,2,3,4,5,..}

Conjuntos dos Números Inteiros
Z={…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…}
(-) Este símbolo exclui os números positivos. Z - ={…, -4, -3, -2, -1, 0}
(--)Este símbolo exclui os números positivos e exclui, também, o zero. Z - - ={…, -4, -3, -2, -1}        
(+)Este símbolo exclui os números negativos. Z+ ={0, 1, 2, 3, 4, …}
(++)Este símbolo exclui os números negativos e exclui, também, o zero. Z+ + = {1,2,3,4,…}                     .

Números Racionais
Q={a/b tal que a,bZ,  com b≠0}
O conjunto dos números racionais é formado pelos números que podem ser colocados em forma de fração.
Números Irracionais
Os números irracionais não podem ser escritos em forma de fração
Exemplos: π(Pi): pI          -         3,14259....

Números Reais
O conjunto dos números reais (R) é formado pela união (U) de outros quatro conjuntos numéricos: naturais (N), inteiros (Z), racionais (Q) e irracionais (I). Pode-se representá-lo, portanto, com a expressão R = N U Z U Q U I.
Intervalos de Reais
Seja a e b números reais com a < b. os subconjuntos de R a seguir são chamados intervalos.
Intervalo Fechado: https://lh4.googleusercontent.com/0spl3wVltfCMorsY2N4fsgHH4MnDbHyhq4mEClgpxKT05lx-Mgfrw-xByEmjYuwKoeh3DpaGJuLQzLn9XKWhObgSdl4QVKN9GS6sDOwCRtMvSyQ4tuWWcZUHR2I
Números reais maiores ou iguais a a e menores ou iguais a b.
Representação: [a, b]: Conjunto: {x R | a ≤ x ≤ b}

Intervalo Aberto: https://lh3.googleusercontent.com/f1wag-X9kVlY1oVpKvYd4u5Rov7ItZNF98BeGBN8AIbNSZ4V7vzEXEv5FXSZILd3pZrXLpOPFKAotFAD93QFP_gy-A4El_fxSXRU1W04MefXjWzBwQp2_CW9MF0
Números reais maiores do que a e menores do que b.
Representação: ]a, b[: Conjunto: {x R | a < x < b}

Intervalo Fechado a Esquerda:
https://lh3.googleusercontent.com/TeT8qMtjGjerQjF9NpDMYLAdE4jKJT4SYMwIMp_R-autg1WUgvGnXHdU_PfenQz0X7g-H4vmYusSVd0iHGXyFoRygZ3DMycQb3by0OoYCpdPud6moqxxTIo_JOk
Números reais maiores ou iguais a a e menores do que b.
Representação: [a, b[: Conjunto: {x R | a ≤ x < b}

Intervalo Fechado a Direita: https://lh4.googleusercontent.com/Jy-nMrlwy7a2mntaJCqL1BzsRcEXkghpiJbZ5xJ4WDYaggPPCjYQgXr83pUbc7ir4qdnicfh_heKornXkfUxiaQW-KKchEooXLeOe3ORjuTm9R16VdfuHPhPk1Y
Números reais maiores do que a e menores ou iguais a b.
Representação: ]a, b]:  Conjunto: {x R | a < x ≤ b}

Intervalos Não Limitados (infinitos)    
 https://lh3.googleusercontent.com/yUIfYTa9kNi5BDWLkQxOBaxMSvApMXybqbCvkPTimzscS7ShEZx3mSV3-SJg77Qe8tJB7zWMpkNTvHxUuVAia7WGkik9emzpaBPRxxm67RPNWcYG3OolK5rrjwM
   Representação: ]-∞ ,b]:  Conjunto: {x R | x ≤ b}    

https://lh3.googleusercontent.com/TWHLhpW-diESpC-ifubiaBumwv02CLULqF2o9cKBIlmeRkeX2i5e6mAN-1w3dWxWbXNKgKWxrsJzx8z9TqjnYsepkcdtQh17apM8j5S8R_g208SX5tnoWJK9ljQ
Representação: ]-∞ ,b[: Conjunto: {x R | x < b}           

https://lh4.googleusercontent.com/GIHsxMvj0Aadx-pV16NqTLa3Nv41wxYGfauZgvILrM8kEpOu5qFrToljJJFoSkz2sfYaC9Xh2Roo4h0G0jQDBnQrQMup2wJEKkQKpUya3FPfhpniL_gnuM_TTKQ
Representação: [a,+∞ [: Conjunto: {x R | x ≥ a }            

https://lh3.googleusercontent.com/NnlipGeTBneDeDQsR0q-x_ZLXP6rOZrJFrUOtbV1vcgvsYSSTYQX_DVS0arZs_LFF31YZDtDjTNCSJouqAIeKKxJ6QuFQ4m8riRhYZuDb2f4C1Fk281uNQ3pEgw

Representação: ]a, +∞ [: Conjunto: {x R | x>a}

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