Professor Pedro Luiz: Conjuntos

CONJUNTOS

Em Matemática, conjunto é uma coleção de objetos (chamados elementos). Os elementos podem representar qualquer coisa — números, pessoas, letras, etc - até mesmo outros conjuntos. Um conjunto pode conter outro(s) conjunto(s), inclusive. Incorretamente chamada de "Teoria dos Conjuntos" no ensino médio. Matematicamente o conjunto é representado por uma letra do alfabeto latino, maiúscula (A, B, C, ...). Já os elementos do conjunto são representados por letras latinas minúsculas. E a representação completa do conjunto envolve a colocação dos elementos entre chaves, da seguinte maneira:

$A=\{v,x,y,z\}$

Para um conjunto A de 4 elementos v, x, y e z

Conjunto unitário - Um conjunto unitário possui um único elemento.

Conjunto vazio - Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado por $\{\}$ , $\emptyset$ , $\varnothing$ ou $\phi$ . Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não está contido no conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos.

Subconjuntos

http://upload.wikimedia.org/wikibooks/pt/thumb/f/f2/Conjuntos_subconjunto.png/120px-Conjuntos_subconjunto.png

Dizemos que um conjunto A é subconjunto de outro conjunto B quando todos os elementos de A também pertencem a B. Por exemplo:

A = { 1,2,3 } e B = { 1,2,3,4,5,6 }

Nesse caso A é subconjunto de B, é indica-se $A\subset B$ . Deve-se reparar que B é subconjunto de si mesmo; os subconjuntos de B que não são iguais a B são chamados subconjuntos próprios.

Nota: O conjunto vazio, { } ou Ф, é um subconjunto de todos os conjuntos.

Conjunto das partes

Dado um conjunto A, definimos o conjunto das partes de A, ${\mathcal {P}}(A)$ , como o conjunto que contém todos os subconjuntos de A(incluindo o conjunto vazio e o próprio conjunto A).

Uma maneira prática de determinar ${\mathcal {P}}(A)$ é pensar em todos os subconjuntos com um elemento, depois todos os subconjuntos com dois elementos, e assim por diante.

Exemplo:

Se A = { 1, 2, 3 }, então ${\mathcal {P}}(A)$ = { ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }.

Relação de inclusão

Para relacionar um conjunto com outro conjunto(ou subconjunto) utilizamos a relação de inclusão.

Exemplo: Se considerarmos o conjunto

formado por todas as letras do alfabeto e o conjunto

formado pelas vogais, podemos dizer que $A\supset V$ (A contém V) ou $V\subset A$ (V está contido em A)

Relação de pertinência

Se $\,\!a$ é um elemento de

, nós podemos dizer que o elemento

pertence ao conjunto

e podemos escrever $a\in A$ . Se

não é um elemento de

, nós podemos dizer que o elemento

não pertence ao conjunto

e podemos escrever $a\not \in A$ .

Exemplos:

$c\in \{a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l\}$

$c\ \not \in \ \{a,e,i,o,u\}$

Operações com conjuntos

União

A união de dois conjuntos A e B é um conjunto que contém todos os elementos de A todos os elementos de B, e nada mais, além disso. Ou então: Dado um universo U e dois conjuntos A e B, chama-se união de A com B ao conjunto cujos elementos pertencem pelo menos ao conjunto A ou ao conjunto B. Matematicamente:

$A\cup B=\{x\in U|x\in A\lor x\in B\}$

Por exemplo:

a) Se $A=\{a,e,i\}$ e $B=\{o,u\}$ logo:

$A\cup B=\{a,e,i,o,u\}$

b) Se $A=\{2,3,4,5\}$ e $B=\{1,3,5\}$ então:

$A\cup B=\{1,2,3,4,5\}$

Intersecção

A intersecção de dois conjuntos

é o conjunto de elementos que pertencem aos dois conjuntos. Ou então: Dados dois conjuntos

, pertencentes a um universo U, chama-se intersecção de A com B ao conjunto cujos elementos pertencem tanto a

quanto a

. Matematicamente:

$A\cap B=\{x\in U|x\in A\land x\in B\}$

Por exemplo: Sendo $A=\{1,2,3\}$ e $B=\{3,4,5\}$ , temos:

$A\cap B=\{3\}$

Diferença

Dado um universo U ao qual pertencem dois conjuntos A e B, chama-se diferença de A menos B ao conjunto de elementos que pertencem a A e não pertencem a B; chama-se de diferença de B menos A ao conjunto de elementos que pertencem a B e não pertencem a A. Matematicamente:

$A-B=\{x\in U|x\in A\land x\not \in B\}$ e/ou $B-A=\{x\in U|x\in B\land x\not \in A\}$

Por exemplo: Sendo $A=\{1,2,3\}$ e $B=\{3,4,5\}$ , temos:

A – B = {1, 2} e B – A = {4, 5}

Complementar

Dado um universo U, diz-se complementar de um conjunto A, em relação ao universo U, o conjunto que contém todos os elementos presentes no universo e que não pertençam a A.Também define-se complementar para dois conjuntos, contanto que um deles seja subconjunto do outro. Nesse caso, diz-se, por exemplo, complementar de B em relação a A (sendo B um subconjunto de A) — é o complementar relativo — e usa-se o símbolo $\complement$ . Matematicamente:

$\complement B_{A}=\{x\in A|x\not \in B\}$

CONJUNTOS NUMÉRICOS

Conjunto dos Números Naturais

N = {0,1,2,3,4,5,…}

(*) Este símbolo exclui o zero.

N* = {1,2,3,4,5,..}

Conjuntos dos Números Inteiros

Z={…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…}

(-) Este símbolo exclui os números positivos. Z - ={…, -4, -3, -2, -1, 0}

(--)Este símbolo exclui os números positivos e exclui, também, o zero. Z - - ={…, -4, -3, -2, -1}

(+)Este símbolo exclui os números negativos. Z+ ={0, 1, 2, 3, 4, …}

(++)Este símbolo exclui os números negativos e exclui, também, o zero. Z+ + = {1,2,3,4,…} .

Números Racionais

Q={a/b tal que a,b∈Z, com b≠0}

O conjunto dos números racionais é formado pelos números que podem ser colocados em forma de fração.

Números Irracionais

Os números irracionais não podem ser escritos em forma de fração

Exemplos: π(Pi): pI - 3,14259....

Números Reais

O conjunto dos números reais (R) é formado pela união (U) de outros quatro conjuntos numéricos: naturais (N), inteiros (Z), racionais (Q) e irracionais (I). Pode-se representá-lo, portanto, com a expressão R = N U Z U Q U I.

Intervalos de Reais

Seja a e b números reais com a < b. os subconjuntos de R a seguir são chamados intervalos.

Intervalo Fechado: