CONJUNTOS
Em Matemática, conjunto é
uma coleção de objetos (chamados elementos). Os elementos podem
representar qualquer coisa — números, pessoas, letras, etc - até mesmo outros
conjuntos. Um conjunto pode conter outro(s) conjunto(s), inclusive. Incorretamente
chamada de "Teoria dos Conjuntos" no ensino médio. Matematicamente o
conjunto é representado por uma letra do alfabeto latino, maiúscula (A, B,
C, ...). Já os elementos do conjunto são representados por letras latinas
minúsculas. E a representação completa do conjunto envolve a colocação dos
elementos entre chaves, da seguinte maneira:
Para um conjunto A de 4 elementos v, x, y e z
Conjunto
unitário - Um conjunto unitário possui um único
elemento.
Conjunto vazio
- Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado
por , , ou . Podemos
mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não está contido no conjunto em
questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não
pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não
é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais uns aos outros, é
permissível falar de um único conjunto sem elementos.
Subconjuntos
Dizemos que um conjunto A é subconjunto de
outro conjunto B quando todos os elementos de A também pertencem a B.
Por exemplo:
A = { 1,2,3 } e B = { 1,2,3,4,5,6 }
Nesse caso A é subconjunto de B, é
indica-se .
Deve-se reparar que B é subconjunto de si mesmo; os subconjuntos
de B que não são iguais a B são chamados subconjuntos
próprios.
Nota: O
conjunto vazio, { } ou Ф, é um subconjunto de todos os conjuntos.
Conjunto
das partes
Dado um conjunto A, definimos o conjunto das
partes de A, ,
como o conjunto que contém todos os subconjuntos de A(incluindo o conjunto
vazio e o próprio conjunto A).
Uma maneira prática de determinar é
pensar em todos os subconjuntos com um elemento, depois todos os subconjuntos
com dois elementos, e assim por diante.
Exemplo:
Se A = { 1, 2, 3 }, então =
{ ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2},
{1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }.
Relação
de inclusão
Para relacionar um conjunto com outro conjunto(ou
subconjunto) utilizamos a relação de inclusão.
Exemplo: Se considerarmos o conjunto formado por todas
as letras do alfabeto e o conjunto formado pelas vogais,
podemos dizer que (A
contém V) ou (V
está contido em A)
Relação
de pertinência
Se é um
elemento de , nós podemos dizer que o
elemento pertence ao
conjunto e podemos
escrever .
Se não é um
elemento de , nós podemos dizer que o
elemento não pertence
ao conjunto e podemos
escrever .
Exemplos:
Operações
com conjuntos
União
A união de dois conjuntos A e B é um conjunto que
contém todos os elementos de A todos os elementos de B, e nada mais, além disso.
Ou então: Dado um universo U e dois conjuntos A e B,
chama-se união de A com B ao conjunto cujos elementos pertencem pelo
menos ao conjunto A ou ao conjunto B. Matematicamente:
Por exemplo:
a) Se e logo:
b) Se e então:
Intersecção
A intersecção de dois conjuntos e é o conjunto de
elementos que pertencem aos dois conjuntos. Ou então: Dados dois
conjuntos e , pertencentes a um
universo U, chama-se intersecção de A com B ao conjunto cujos
elementos pertencem tanto a quanto a . Matematicamente:
Por exemplo: Sendo e ,
temos:
Diferença
Dado um universo U ao
qual pertencem dois conjuntos A e B, chama-se diferença de
A menos B ao conjunto de elementos que pertencem a A e não
pertencem a B; chama-se de diferença de B menos A ao conjunto de
elementos que pertencem a B e não pertencem a A.
Matematicamente:
e/ou
Por exemplo: Sendo e ,
temos:
A – B = {1, 2} e B – A
= {4, 5}
Complementar
Dado um universo U,
diz-se complementar de um conjunto A, em relação ao universo U, o
conjunto que contém todos os elementos presentes no universo e que não
pertençam a A.Também define-se complementar para dois conjuntos, contanto
que um deles seja subconjunto do outro. Nesse caso, diz-se, por exemplo, complementar
de B em relação a A (sendo B um subconjunto de A) — é o
complementar relativo — e usa-se o símbolo .
Matematicamente:
CONJUNTOS
NUMÉRICOS
Conjunto dos Números Naturais
N = {0,1,2,3,4,5,…}
(*) Este símbolo exclui o zero.
N* = {1,2,3,4,5,..}
Conjuntos
dos Números Inteiros
Z={…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…}
(-) Este símbolo exclui os números positivos. Z - ={…,
-4, -3, -2, -1, 0}
(--)Este símbolo exclui os números positivos e exclui,
também, o zero. Z - - ={…, -4, -3, -2, -1}
(+)Este símbolo exclui os números negativos. Z+ ={0, 1,
2, 3, 4, …}
(++)Este símbolo exclui os números negativos e exclui,
também, o zero. Z+ + = {1,2,3,4,…}
.
Números
Racionais
Q={a/b tal que a,b∈Z,
com b≠0}
O conjunto dos números racionais é formado pelos
números que podem ser colocados em forma de fração.
Números
Irracionais
Os números irracionais não podem ser escritos em forma
de fração
Exemplos: π(Pi): pI
-
3,14259....
Números
Reais
O conjunto dos números reais (R) é formado pela união
(U) de outros quatro conjuntos numéricos: naturais (N), inteiros (Z), racionais
(Q) e irracionais (I). Pode-se representá-lo, portanto, com a expressão R = N U
Z U Q U I.
Intervalos
de Reais
Seja a e b números reais com a < b. os subconjuntos
de R a seguir são chamados intervalos.
Intervalo
Fechado:
Números reais maiores ou iguais a a e menores ou
iguais a b.
Representação: [a, b]: Conjunto: {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
Intervalo
Aberto:
Números reais maiores do que a e menores do que b.
Representação: ]a, b[: Conjunto: {x ∈ R | a < x < b}
Intervalo Fechado a Esquerda:
Números reais maiores ou iguais a a e menores do que
b.
Representação: [a, b[: Conjunto: {x ∈ R | a ≤ x < b}
Intervalo
Fechado a Direita:
Números reais maiores do que a e menores ou iguais a
b.
Representação: ]a, b]: Conjunto: {x ∈ R | a < x ≤ b}
Intervalos
Não Limitados (infinitos)
Representação:
]-∞ ,b]: Conjunto: {x ∈
R | x ≤ b}
Representação: ]-∞ ,b[: Conjunto: {x ∈ R | x < b}
Representação: [a,+∞ [: Conjunto: {x ∈ R | x ≥ a }
Representação: ]a, +∞ [: Conjunto: {x ∈ R | x>a}
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